[论文解读] All relativistic motions can be geodesically described

A. Loinger, Tiziana Marsico|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2010

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文表明，所有相对论性运动——包括由电磁力等非引力力驱动的运动——都可以在适当选择的时空几何中描述为测地线轨迹。通过重新定义度量张量，使其满足非引力场应力-能量张量的特定无散条件，运动方程可简化为测地线方程，从而将非引力动力学统一于广义相对论的几何框架之中。

ABSTRACT

A suitable choice of the four components of the metric tensor which are at our discretion allows to represent geodesically also the non-gravitational motions.

研究动机与目标

• 证明非引力相互作用（如电磁力）并不会排除在广义相对论中对运动的测地线描述。
• 表明通过适当地选择度量张量的分量，带电尘埃云的运动方程可转化为测地线方程。
• 通过确保总非引力应力-能量张量在新度量下无散，将该结果推广至包含额外场的系统。
• 确立此类重定义对应于过渡到一个新的黎曼-爱因斯坦流形，同时保持广义相对论的几何结构。

提出的方法

• 从带电尘埃云的标准爱因斯坦-闵可夫斯基方程出发，其中运动由引力和电磁力的共同作用所支配。
• 施加条件：在新度量下，电磁应力-能量张量 $E^{jk}$ 的协变导数为零，即 $E^{jk}_{:k} = 0$，该条件确定了新度量分量 $g^{*}_{jk}$。
• 证明在此条件下，物质守恒定律与修正的爱因斯坦方程共同导出新速度场的测地线方程 $v^{*j}_{:k}v^{*k} = 0$。
• 将该方法推广至包含任意额外非引力场的情形，要求总非引力应力-能量张量 $E^{jk} + X^{jk}$ 在新度量下协变导数为零。
• 利用新度量 $g^{*}_{jk}$ 的构造方式，使得尘埃粒子的运动方程完全为测地线形式，与原始力项无关。
• 确立新度量对应于一个不同的黎曼-爱因斯坦流形，从而保持广义相对论几何结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非引力力（如电磁相互作用）是否能通过修改后的时空几何中的测地线运动完全描述？
• RQ2 是否可以通过重定义度量张量，使带电尘埃云的运动方程完全成为测地线方程？
• RQ3 额外非引力场的引入如何影响测地线描述的可能性？
• RQ4 非引力场应力-能量张量需满足何种条件，才能使测地线表述成立？
• RQ5 该方法是否在统一所有相对论性动力学的同时，保持广义相对论的几何结构？

主要发现

• 经典上受电磁力作用的带电尘埃云的运动，可在重新定义度量张量 $g^{*}_{jk}$ 的时空中被描述为测地线运动。
• 在新度量下条件 $E^{jk}_{:k} = 0$ 确保运动方程简化为测地线方程 $v^{*j}_{:k}v^{*k} = 0$，意味着纯粹的测地线运动。
• 该方法可推广至任意包含额外非引力场的系统，只要在新度量下满足 $(E^{jk} + X^{jk})_{:k} = 0$，即可再次导出测地线轨迹。
• 新度量 $g^{*}_{jk}$ 对应于一个不同的黎曼-爱因斯坦流形，意味着广义相对论的几何结构在变换下保持不变。
• 该结果表明，所有相对论性运动——无论引力与否——均可在适当选择的时空几何中描述为测地线。
• 推论之一是：正如麦克斯韦理论中匀速运动的电荷不辐射电磁波一样，广义相对论中测地线运动也不辐射引力波，暗示了电磁学中直线运动与引力中测地线运动之间存在深刻类比。