[论文解读] Allard-type boundary regularity for $C^{1,\alpha}$ boundaries

Theodora Bourni|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文为任意 $\alpha \in (0,1]$ 的 $C^{1,\bar{\alpha}}$ 边界之可rectifiable变面积，建立了边界单调性公式，将Allard的边界正则性理论从 $C^{1,1}$ 情况推广至更弱的正则性情形。通过引入基于Whitney分解的到边界距离函数的光滑逼近，作者证明了单调性公式，并在 $L^p$ 平均曲率有界且 $p>k$ 的条件下，得到变面积的 $C^{1,\gamma}$ 正则性结果，其中 $\gamma = 1 - k/p$，从而将Allard原始定理推广至正则性更低的边界情形。

ABSTRACT

In this paper we show boundary monotonicity formulae for rectifiable varifolds having a $C^{1,\\alpha}$ "boundary". In particular, we show that the area ratios of balls centered at this "boundary'' satisfy a nice monotonicity formula, similar to that for interior balls (proved in Allard's paper "On the first variation of a varifold''). This extends the boundary monotonicity formulae of Allard (see "On the first variation of a varifold- boundary behavior''), which require that the boundary is $C^{1,1}$. As a corollary, Allard's boundary regularity results extend to this case and provide a regularity result for rectifiable varifolds with a $C^{1,\\alpha}$ ``boundary''.

研究动机与目标

• 将Allard的边界正则性定理从 $C^{1,1}$ 边界推广至 $C^{1,\alpha}$ 边界，其中 $\alpha \in (0,1]$。
• 为具有 $C^{1,\alpha}$ 边界的可rectifiable变面积建立边界单调性公式，其形式类比于Allard的内部单调性公式。
• 通过构造基于Whitney剖分的光滑逼近，克服在 $C^{1,\alpha}$ 边界附近距离函数 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ 缺乏可微性的问题。
• 在 $L^p$ 平均曲率有界且 $p>k$ 的条件下，证明高度倾斜估计与正则性结果，推广Allard的 $C^{1,1}$ 结果。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^{n+k} \setminus B$ 上引入Whitney剖分，以定义距离函数 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ 的光滑逼近 $\sigma(x)$，使得 $\sigma(x)$ 与 $\rho_0(x)$ 保持 $C^{1,\alpha}$-接近。
• 利用基于Whitney的距离函数 $\sigma(x)$，推导出面积比 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ 的边界单调性公式，该公式在靠近 $C^{1,\alpha}$ 边界 $B$ 的点 $x$ 处关于 $r$ 单调递减。
• 通过利用Whitney逼近的正则性，证明变面积的一阶变分在所有地方局部有界，而不仅在远离 $B$ 的区域。
• 使用基于Whitney的距离函数替代最近点投影，建立高度倾斜估计（定理4.10），其界依赖于 $B$ 的 $C^{1,\alpha}$-范数，而非 $C^{1,1}$-范数。
• 将Allard的内部正则性理论方法应用于靠近 $B$ 的点为中心的球体，利用新的单调性与高度倾斜估计，推导出 $C^{1,\gamma}$ 正则性，其中 $\gamma = 1 - k/p$。
• 通过覆盖论证及变面积的切平面与边界切平面之间的比较估计，控制切丛的Hölder连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Allard的边界单调性公式与正则性定理能否从 $C^{1,1}$ 推广至任意 $\alpha \in (0,1]$ 的 $C^{1,\alpha}$ 边界？
• RQ2 如何构造一个在 $C^{1,\alpha}$ 边界上保持足够正则性的光滑距离类函数，以支持单调性公式的推导？
• RQ3 当 $\alpha < 1$ 时，最近点投影在 $C^{1,\alpha}$ 边界附近不可微，这是否阻碍边界单调性与正则性结果的推导？
• RQ4 当边界为 $C^{1,\alpha}$ 时，变面积正则性的最优Hölder指数 $\gamma$ 与平均曲率的 $L^p$ 可积性之间有何关系？
• RQ5 Allard理论中的高度倾斜估计能否使用基于Whitney的距离函数替代最近点投影重新证明，且其界依赖于 $C^{1,\alpha}$-范数？

主要发现

• 本文为具有 $C^{1,\alpha}$ 边界的可rectifiable变面积建立了边界单调性公式，表明当 $x$ 靠近边界时，面积比 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ 关于 $r$ 单调递减。
• 提出一种新的光滑距离函数 $\sigma(x)$，通过Whitney剖分构造，替代了不可微的 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$，从而使得单调性与正则性估计得以推导。
• 在 $C^{1,\alpha}$ 假设下，证明了变面积的一阶变分在所有地方局部有界，而不仅在远离边界的区域。
• Allard中引理4.5的“高度倾斜估计”被推广至 $C^{1,\alpha}$ 边界，其界现依赖于 $B$ 的 $C^{1,\alpha}$-范数，而非 $C^{1,1}$-范数。
• 主要正则性结果（定理4.4）表明，在 $L^p$ 平均曲率有界且 $p>k$ 的条件下，变面积在边界附近为 $C^{1,\gamma}$ 正则，其中 $\gamma = 1 - k/p$，从而推广了Allard的 $C^{1,1}$ 结果。
• 对变面积切平面的Hölder连续性进行了量化：$\|\operatorname{proj}_{T_xM} - \operatorname{proj}_{T_yM}\| \leq C \max\{\mu, \eta\} \max\{|x-y|^{1-k/p}, |x-y|^\alpha\}$，其中 $\mu, \eta$ 分别控制平均曲率与边界正则性。