[论文解读] Almost filling laminations and the connectivity of ending lamination space

David Gabai|ArXiv.org|Aug 15, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 7

一句话总结

该论文证明了对于除三孔球面、四孔球面和单孔环面外的所有具有负欧拉示性数的有限类型定向曲面 $S$，结束测度线丛空间 $σ\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 是连通的、局部道路连通的，并且是循环的。证明通过构造一条路径连接任意两个极小且充满的测度线丛，路径由一系列互补区域逐渐复杂的几乎充满的线丛构成，确保在射影单位切丛中通过受控的超收敛性，收敛于 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 中的连续路径。

ABSTRACT

We show that if S is a finite type orientable surface of negative Euler characteristic which is not the 3-holed sphere, 4-holed sphere or 1-holed torus, then the ending lamination space of S is connected, locally path connected and cyclic.

研究动机与目标

• 建立除三孔球面、四孔球面和单孔环面外，所有具有负欧拉示性数的曲面 $S$ 的结束线丛空间 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 的拓扑连通性与局部道路连通性。
• 在相同条件下，证明曲线复形 $\mathcal{C}(S)$ 的边界 $\partial\mathcal{C}(S)$ 是连通的、局部道路连通的且是循环的，利用 $\partial\mathcal{C}(S)$ 与 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 之间的同胚关系。
• 证明曲线复形 $\mathcal{C}(S)$ 的刚性定理，表明每个拟等距映射在一致意义下接近于一个单纯自同构，并且在适度限制下，拟等距类型可唯一确定曲面的同胚类型。
• 证明对于同一类曲面，二重退化克林安曲面群空间 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ 是连通的、道路连通的且是循环的。

提出的方法

• 在测度线丛空间 $\mathcal{M}\mathcal{L}(S)$ 中，通过分段线性逼近，构造连接两个极小且充满的测度线丛 $\lambda_0$ 和 $\lambda_1$ 的路径。
• 定义一列路径 $f_1, f_2, \dots$，使得每个 $f_n(t)$ 是几乎充满且几乎极小的测度线丛，其互补区域至多包含一条简单闭测地线。
• 通过控制互补测地线的复杂度，确保当 $n \to \infty$ 时其长度趋于无穷，从而在极限中消除紧致叶。
• 在射影单位切丛 $PT(S)$ 中使用离散逼近，以确保极限路径在 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 中的连续性，且满足 $f_i(t(i))$ 位于 $f_j(t)$ 的 $2\epsilon_i$-邻域内（当 $j > i$ 时）。
• 利用遗忘映射 $\phi: \mathcal{M}\mathcal{L}(S) \to \mathcal{L}(S)$ 的超收敛性，其中 $\mathcal{M}\mathcal{L}(S)$ 中的收敛性意味着 $PT(S)$ 中支撑集的豪斯多夫收敛性。
• 利用所得的路径连通性，推导出曲线复形 $\mathcal{C}(S)$ 和二重退化克林安群空间 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ 的刚性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于除三孔球面、四孔球面和单孔环面外的所有具有负欧拉示性数的有限类型曲面 $S$，结束线丛空间 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 是否是连通的？
• RQ2 在相同条件下，能否证明曲线复形 $\partial\mathcal{C}(S)$ 是局部道路连通且循环的？
• RQ3 若 $\mathcal{E\mathcal{L}}(S)$ 具有路径连通性，是否能推出曲线复形的强刚性，例如拟等距映射在一致意义下接近于单纯自同构？
• RQ4 当 $S$ 是一个不与三孔或四孔球面或单孔环面同胚的紧致双曲曲面时，二重退化克林安曲面群空间 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ 是否是连通且道路连通的？

主要发现

• 对于除三孔球面、四孔球面和单孔环面外的所有具有负欧拉示性数的有限类型定向曲面 $S$，结束线丛空间 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 是连通的、局部道路连通的且是循环的。
• 在相同条件下，曲线复形 $\partial\mathcal{C}(S)$ 是连通的、局部道路连通的且是循环的，这是由于其与 $\mathcal{E}\mathcal{L}(S)$ 之间存在同胚关系。
• 每个 $\mathcal{C}(S)$ 的拟等距映射在一致意义下与一个单纯自同构的距离有界，因此 $\mathrm{QI}(\mathcal{C}(S)) \cong \mathrm{Aut}(\mathcal{C}(S))$。
• 两个曲面 $S$ 和 $\Sigma$ 同胚当且仅当它们的曲线复形 $\mathcal{C}(S)$ 和 $\mathcal{C}(\Sigma)$ 拟等距，前提是二者均不是亏格为2的曲面或双倍穿孔的亏格1曲面。
• 对于不与三孔或四孔球面或单孔环面同胚的紧致双曲曲面 $S$，二重退化克林安曲面群空间 $\mathrm{DD}(S,\partial S)$ 是连通的、道路连通的且是循环的。