[论文解读] Almost Hermitian structures on tangent bundles

Hiroyasu Satoh|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了由流形 $M$ 上的黎曼度量 $g$ 和仿射联络 $D$ 在切丛 $TM$ 上诱导的几乎殆复结构。研究结果表明，该诱导结构为几乎凯勒结构当且仅当对偶联络 $D^*$ 无扭转；为凯勒结构当且仅当 $(M,g,D)$ 是赫essian 流形（即 $D$ 与 $D^*$ 均平坦）；为爱因斯坦结构仅当 $D$ 的曲率张量为零。主要贡献在于通过矩阵值线性映射构造了 $TM$ 上新的凯勒-爱因斯坦结构示例，包括对 $\mathbb{R}^2$ 参数化的对称 $2\times2$ 矩阵族的完整分类。

ABSTRACT

In this article, we consider the almost Hermitian structure on $TM$ induced by a pair of a metric and an affine connection on $M$. We find the conditions under which $TM$ admits almost Kähler structures, Kähler structures and Einstein metrics, respectively. Moreover, we give two examples of Kähler-Einstein structures on $TM$.

研究动机与目标

• 确定由 $(g,D)$ 诱导的 $TM$ 上自然几乎殆复结构为几乎凯勒、凯勒或爱因斯坦结构的条件。
• 解决构造非紧致、非凯勒、几乎凯勒爱因斯坦流形（具有非零数量曲率）的开放问题。
• 通过分析由矩阵值线性映射导出的赫essian 流形，探讨 $TM$ 上凯勒-爱因斯坦结构的存在性。
• 对使得切丛携带凯勒-爱因斯坦度量的此类映射所诱导的赫essian 流形进行分类。
• 提供 $TM$ 上凯勒-爱因斯坦结构的显式示例，超越先前已知的情形。

提出的方法

• 利用仿射联络 $D$ 所诱导的水平与竖直分解，定义 $TM$ 上的自然几乎复结构 $J^D$ 和萨斯卡度量 $\widetilde{g}^D$。
• 使用关于 $g$ 的对偶联络 $D^*$（定义为 $Z(g(X,Y)) = g(D^*_Z X, Y) + g(X, D_Z Y)$）来刻画诱导结构的几何性质。
• 应用多姆布罗夫斯基定理：$J^D$ 可积当且仅当 $D$ 平坦，并将其与几乎凯勒条件结合，推导出凯勒条件。
• 利用赫essian 结构 $(D^*, g_\rho)$ 的二阶科什乌尔形式 $\beta^*$，分析 $T\mathscr{P}_n^\rho$ 上的 Ricci 曲率与爱因斯坦条件。
• 通过仿射坐标变换，将一般线性映射 $\rho: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathcal{S}_2^+$ 化为标准形式 $\rho(\xi^1,\xi^2) = \begin{pmatrix} \xi^1 & a\xi^1 + b\xi^2 \\ a\xi^1 + b\xi^2 & \xi^2 \end{pmatrix}$。
• 计算得 $\beta^* = 3g_\rho$ 于约化形式，证明 $\mathscr{P}_2^\rho$ 为赫塞-爱因斯坦，因此 $T\mathscr{P}_2^\rho$ 为凯勒-爱因斯坦。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $(g,D)$ 诱导的 $TM$ 上自然几乎殆复结构在何种条件下为几乎凯勒？
• RQ2 该结构在何种条件下为凯勒？对 $(M,g,D)$ 的几何条件有何要求？
• RQ3 萨斯卡度量 $\widetilde{g}^D$ 在 $TM$ 上为爱因斯坦时，其对 $D$ 的曲率有何含义？
• RQ4 对于哪些矩阵值线性映射 $\rho$，统计模型 $\mathscr{P}_n^\rho$ 的切丛为凯勒-爱因斯坦？
• RQ5 是否存在超越已知情形 $\rho(t) = tI_n$ 的 $TM$ 上凯勒-爱因斯坦结构的新示例？

主要发现

• 由 $(g,D)$ 诱导的 $TM$ 上自然几乎殆复结构为几乎凯勒结构当且仅当对偶联络 $D^*$ 无扭转。
• 该结构为凯勒结构当且仅当 $(M,g,D)$ 是赫essian 流形，即 $D$ 与 $D^*$ 均平坦。
• 若 $TM$ 上的萨斯卡度量 $\widetilde{g}^D$ 为爱因斯坦，则 $D$ 的曲率张量必为零。
• 对任意线性单射 $\rho: U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathcal{S}_2^+$，统计模型 $\mathscr{P}_2^\rho$ 为赫塞-爱因斯坦，故 $T\mathscr{P}_2^\rho$ 为凯勒-爱因斯坦。
• 对于约化矩阵形式，赫essian 结构 $(D^*, g_\rho)$ 的二阶科什乌尔形式 $\beta^*$ 满足 $\beta^* = 3g_\rho$，从而确认赫塞-爱因斯坦条件。
• 示例 $\rho(t) = tI_n$ 在 $T\mathscr{P}_n^\rho$ 上给出具有常全纯截面曲率的凯勒-爱因斯坦结构，且该结果被推广至 $\mathbb{R}^2$ 中更广泛的 $\rho$ 类别。