[论文解读] Almost sure central limit theorems for random ratios and applications to LSE for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

Peggy Cénac, Khalifa Es-Sebaiy|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2012

Probability and Risk Models参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文建立了几乎必然中心极限定理（ASCLT）在随机比值上的结果，其中分子满足ASCLT，分母几乎必然收敛于1。该结果被应用于证明分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中漂移参数的最小二乘估计量（LSE）的ASCLT，适用于连续和离散观测方案，且赫斯特参数 $ H \in (1/2, 3/4) $。

ABSTRACT

We investigate an almost sure limit theorem (ASCLT) for sequences of random variables having the form of a ratio of two terms such that the numerator satisfies the ASCLT and the denominator is a positive term which converges almost surely to 1. This result leads to the ASCLT for least square estimators for Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion.

研究动机与目标

• 建立一个关于随机比值序列的通用几乎必然中心极限定理（ASCLT），其中分子满足ASCLT，分母几乎必然收敛于1。
• 将此通用结果应用于推导由分数布朗运动驱动的遍历分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中最小二乘估计量（LSE）的ASCLT。
• 证明当过程在等距时间点以步长 $ \Delta_n $ 观测时，离散时间LSE的强一致性（即几乎必然收敛于 $ \theta $）。
• 分析在不同采样方案下，当 $ H \in (1/2, 3/4) $ 时LSE的渐近行为，该参数区间下极限分布为正态分布。
• 利用Malliavin微积分和多重随机积分，验证离散情况下ASCLT所需条件。

提出的方法

• 为比值 $ G_n / R_n $ 建立一个通用ASCLT，其中 $ \{G_n\} $ 满足ASCLT，且 $ R_n \to 1 $ 几乎必然。
• 利用Malliavin微积分和通过特征函数收敛刻画ASCLT的方法，验证离散情况下 $ G_n $ 的条件。
• 将估计误差 $ \theta - \widetilde{\theta}_n $ 分解为三项：$ J_1(n) $、$ J_2(n) $、$ J_3(n) $，分别代表离散化误差、Itô校正项和随机积分项。
• 应用Hölder不等式和柯西-施瓦茨不等式，对 $ J_1(n) $、$ J_2(n) $、$ J_3(n) $ 的 $ L^p $-范数进行有界，证明其几乎必然收敛于零。
• 利用 $ \overline{R}_n \to 1 $ 几乎必然以及 $ \overline{G}_n $ 的ASCLT，推导出比值 $ \overline{G}_n / \overline{R}_n $ 的ASCLT，该比值对应于归一化估计误差。
• 借助定理3和引理9，证明归一化随机积分项 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ 满足ASCLT，从而完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ G_n $ 满足ASCLT且 $ R_n \to 1 $ 几乎必然时，随机比值序列 $ G_n / R_n $ 在何种条件下满足几乎必然中心极限定理？
• RQ2 分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中，当 $ H \in (1/2, 3/4) $ 时，漂移参数 $ \theta $ 的最小二乘估计量（LSE）是否满足几乎必然中心极限定理？
• RQ3 当过程在等距时间点被观测时，离散时间LSE $ \widetilde{\theta}_n $ 是否具有强一致性（即几乎必然收敛于 $ \theta $）？
• RQ4 在离散情况下，归一化估计误差 $ \sqrt{T_n / \sigma_{T_n}^2} (\theta - \widetilde{\theta}_n) $ 的渐近分布为何？
• RQ5 能否利用Malliavin微积分和将估计误差分解为随机分量的方法，建立LSE的ASCLT？

主要发现

• 本文建立了一个关于随机比值 $ G_n / R_n $ 的通用ASCLT，其中 $ G_n $ 满足ASCLT且 $ R_n \to 1 $ 几乎必然，该结果为关键技术工具。
• 对于连续观测下的LSE $ \widehat{\theta}_t $，当 $ H \in (1/2, 3/4) $ 时，序列 $ \sqrt{n}(\theta - \widehat{\theta}_n) $ 满足ASCLT，如定理8所示。
• 离散时间LSE $ \widetilde{\theta}_n $ 是强一致的：当 $ n \to \infty $ 时，有 $ \widetilde{\theta}_n \to \theta $ 几乎必然，该结论在定理10中得到证明。
• 对于离散情形且 $ H \in (1/2, 3/4) $，归一化估计误差 $ \frac{\sqrt{T_n}}{\sigma_{T_n}}(\theta - \widetilde{\theta}_n) $ 满足ASCLT，如定理11所述。
• 证明依赖于将估计误差分解为三项 $ J_1(n) $、$ J_2(n) $、$ J_3(n) $，并通过 $ L^p $-范数有界性和引理9，证明每一项均几乎必然收敛于零。
• 通过定理3以及对定理7中条件(11)和(12)的验证，证明归一化随机积分项 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ 满足ASCLT。