[论文解读] Almost universal codes achieving ergodic MIMO capacity within a constant gap

Laura Luzzi, Roope Vehkalahti|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文提出了一类基于小判别式除环的多块格码，可在所有信噪比（SNR）水平下实现与遍历MIMO容量相差恒定的速率。利用数论与类域理论，证明归一化最小行列式作为设计准则，可确保在最大似然译码与朴素格译码下实现可靠通信，且在瑞利衰落信道中误码率呈指数衰减。

ABSTRACT

This work addresses the question of achieving capacity with lattice codes in multi-antenna block fading channels when the number of fading blocks tends to infinity. A design criterion based on the normalized minimum determinant is proposed for division algebra multiblock space-time codes over fading channels; this plays a similar role to the Hermite invariant for Gaussian channels. It is shown that this criterion is sufficient to guarantee transmission rates within a constant gap from capacity both for slow fading channels and ergodic fading channels. This performance is achieved both under maximum likelihood decoding and naive lattice decoding. In the case of independent identically distributed Rayleigh fading, it is also shown that the error probability vanishes exponentially fast. In contrast to the standard approach in the literature which employs random lattice ensembles, the existence results in this paper are derived from number theory. First the gap to capacity is shown to depend on the discriminant of the chosen division algebra; then class field theory is applied to build families of algebras with small discriminants. The key element in the construction is the choice of a sequence of division algebras whose centers are number fields with small root discriminants.

研究动机与目标

• 在所有SNR范围内，通过显式格码缩小与MIMO容量的差距。
• 为衰落信道中的多块空时码设计一种设计准则，确保性能接近容量。
• 证明除环码的归一化最小行列式决定了遍历与慢衰落MIMO信道中与容量的差距。
• 证明存在显式格码，可在瑞利衰落信道中实现可靠通信，且误码率呈指数衰减。
• 建立代数数论（特别是类域理论）可实现小判别式构造，从而获得小容量差距的码。

提出的方法

• 利用具有小根判别式的数域上的除环设计多块格码。
• 应用类域理论构造具有小判别式的$K$-中心除环族。
• 将归一化最小行列式作为关键几何不变量，用于界定与容量的差距。
• 采用受AWGN信道中格码编码启发的球体打包方法，并将其适配至衰落MIMO环境。
• 利用衰落信道中与Hermite不变量的类比关系，其中归一化最小行列式在衰落信道中的作用类似于高斯信道中Hermite常数的作用。
• 对序列$\log \det H_i H_i^\dagger$应用大数定律，以确保收敛性与误码率衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 显式格码是否可在所有SNR水平下实现与遍历MIMO容量相差恒定的性能？
• RQ2 多块除环码的归一化最小行列式是否可作为在衰落信道中逼近容量的设计准则？
• RQ3 具有小判别式的数论构造的除环是否可产生与容量差距有界的码？
• RQ4 在与最大似然译码相同的容量差距下，是否可实现使用朴素格译码的可靠通信？
• RQ5 是否可利用此类代数码证明瑞利衰落MIMO信道中的误码率呈指数衰减？

主要发现

• 所提出的多块格码在所有SNR值下，无论采用ML译码还是朴素格译码，其速率均与遍历MIMO容量相差恒定。
• 与容量的差距由$n \log C_L - n \log \frac{\pi e}{4n}$有界，其中$C_L$为格族的几何不变量。
• 在i.i.d.瑞利衰落信道中，当衰落块数$k \to \infty$时，误码率呈指数快速衰减。
• 该构造依赖于具有小根判别式的数域以及通过类域理论建立的小判别式$K$-中心除环。
• 证明归一化最小行列式是决定容量差距的关键不变量，其作用类似于高斯信道中Hermite不变量。
• 该方法避免随机编码，转而利用显式代数数论证明存在性与性能保证。