[论文解读] Ambitoric geometry I: Einstein metrics and extremal ambikaehler structures

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文通过一个二次多项式 $ q $ 和单变量函数 $ A, B $，对具有共同环面作用的4-流形上共形等价、方向相反的凯勒度量（即双复结构）进行了局部分类。在该框架下，分类了爱因斯坦度量和极值凯勒度量，表明它们出现在巴赫张量为零时，并给出了新例子的显式构造，包括普莱包斯金-德米安斯基度量的黎曼类比。

ABSTRACT

We present a local classification of conformally equivalent but oppositely oriented 4-dimensional Kaehler metrics which are toric with respect to a common 2-torus action. In the generic case, these "ambitoric" structures have an intriguing local geometry depending on a quadratic polynomial q and arbitrary functions A and B of one variable. We use this description to classify Einstein 4-metrics which are hermitian with respect to both orientations, as well a class of solutions to the Einstein-Maxwell equations including riemannian analogues of the Plebanski-Demianski metrics. Our classification can be viewed as a riemannian analogue of a result in relativity due to R. Debever, N. Kamran, and R. McLenaghan, and is a natural extension of the classification of selfdual Einstein hermitian 4-manifolds, obtained independently by R. Bryant and the first and third authors. These Einstein metrics are precisely the ambitoric structures with vanishing Bach tensor, and thus have the property that the associated toric Kaehler metrics are extremal (in the sense of E. Calabi). Our main results also classify the latter, providing new examples of explicit extremal Kaehler metrics. For both the Einstein-Maxwell and the extremal ambitoric structures, A and B are quartic polynomials, but with different conditions on the coefficients. In the sequel to this paper we consider global examples, and use them to resolve the existence problem for extremal Kaehler metrics on toric 4-orbifolds with second betti number b2=2.

研究动机与目标

• 为具有共同环面作用的4-流形上的双复结构提供局部分类，定义为共形等价、方向相反的凯勒度量对。
• 刻画关于两种复结构均为全纯的爱因斯坦度量，表明其在双复框架下源于巴赫张量为零。
• 通过将巴赫张量为零的条件应用于双复结构，扩展极值凯勒度量的分类，推广了关于自对偶爱因斯坦全holomorphic度量的先前结果。
• 通过在函数 $ A $ 和 $ B $ 上施加特定多项式条件，显式构造爱因斯坦-麦克斯韦解与极值凯勒度量。
• 为后续研究中 $ b_2 = 2 $ 的环面4-轨道流形上的全局存在性结果奠定基础。

提出的方法

• 利用由动量坐标 $ x, y $ 定义的局部坐标系，将双复结构简化为由二次多项式 $ q $ 和单变量函数 $ A(x), B(y) $ 控制的系统。
• 应用哈密顿2-形式与基灵张量的理论，刻画对称 $ J $-不变张量，将其与双复度量的几何联系起来。
• 将巴赫张量条件作为关键判据：巴赫张量为零意味着双复结构是共形爱因斯坦的，且对应的凯勒度量为极值。
• 通过要求 $ h_{xy} = 0 $，推导出度量 $ g = h(x,y)g_0 $ 允许非平凡对称基灵张量的条件，从而将 $ h $ 限制为 $ F(x) - G(y) $ 的形式。
• 利用里奇张量与凯勒形式 $ \theta_\rho $ 之间的关系，刻画具有对角里奇张量的度量，导出 $ h = (x-y)q/p^2 $ 的有理函数形式。
• 应用 $ Q(p) = 0 $ 的条件（其中 $ Q $ 是关于 $ p $ 的二次型），识别出同时具有对角里奇张量与非平凡基灵张量的度量，要求 $ p $ 具有重根。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有共同环面作用的双复4-流形的局部结构是什么？其几何数据如何参数化？
• RQ2 哪些双复结构会产生关于两种复结构均为全纯的爱因斯坦度量？
• RQ3 如何在双复框架内刻画并构造极值凯勒度量？
• RQ4 在黎曼情形下，函数 $ A $ 和 $ B $ 需满足何种条件，才能得到爱因斯坦-麦克斯韦方程的解？
• RQ5 在双复共形类中，何种条件下度量会允许非平凡对称基灵张量？

主要发现

• 双复结构在局部由二次多项式 $ q $ 和函数 $ A(x), B(y) $ 参数化，度量与复结构均由这些数据唯一确定。
• 关于两种方向均为全纯的爱因斯坦度量，恰好出现在巴赫张量为零时，此类度量为共形爱因斯坦度量，且具有极值凯勒结构。
• 对于爱因斯坦-麦克斯韦与极值双复结构，函数 $ A $ 和 $ B $ 均为四次多项式，但其系数约束不同。
• 具有对角里奇张量的双复类度量形式为 $ g = h(x,y)g_0 $，其中 $ h = (x-y)q(x,y)/p(x,y)^2 $，且当且仅当 $ Q(p) = 0 $ 时，存在非平凡基灵张量。
• 当 $ Q(q) > 0 $ 时，通常存在两个 $ p $ 的解；当 $ Q(q) = 0 $ 时，两个解重合，表明处于退化情形。
• 重心度量 $ g_0 $ 满足 $ \theta^0_+ + \theta^0_- = 0 $，且对称张量 $ g_0(I\cdot,\cdot) $ 关于 $ g_0 $ 是基灵的，其中 $ I = J_+ \circ J_- $。