[论文解读] An adaptive multi-fidelity PC-based ensemble Kalman inversion for inverse problems

Liang Yan, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出一种自适应多保真度多项式混沌（PC）-基于集合卡尔曼滤波反演（EKI）方法，以降低高维非线性PDE约束反问题求解的计算成本。通过仅使用少量高保真度模型评估自适应构建并优化低阶PC代理模型，该方法可借助大量低成本代理实现高效EKI更新，相比标准EKI和基于PC的EKI，实现了更高的精度和效率。

ABSTRACT

The ensemble Kalman inversion (EKI), as a derivative-free methodology, has been widely used in the parameter estimation of inverse problems. Unfortunately, its cost may become moderately large for systems described by high dimensional nonlinear PDEs, as EKI requires a relatively large ensemble size to guarantee its performance. In this paper, we propose an adaptive multi-fidelity polynomial chaos (PC) based EKI technique to address this challenge. Our new strategy combines a large number of low-order PC surrogate model evaluations and a small number of high-fidelity forward model evaluations, yielding a multi-fidelity approach. Especially, we present a new approach that adaptively constructs and refines a multi-fidelity PC surrogate during the EKI simulation. Since the forward model evaluations are only required for updating the low-order multi-fidelity PC model, whose number can be much smaller than the total ensemble size of the classic EKI, the entire computational costs are thus significantly reduced. The new algorithm was tested through the two-dimensional time fractional inverse diffusion problems and demonstrated great effectiveness in comparison with PC based EKI and classic EKI.

研究动机与目标

• 为解决高维、非线性PDE约束反问题中集合卡尔曼滤波反演（EKI）的高计算成本问题。
• 通过代理建模降低EKI中对昂贵高保真度前向模型评估的依赖。
• 开发一种自适应多保真度PC代理，可在EKI迭代过程中逐步优化，以最小化高保真度评估次数同时提高精度。
• 在大幅减少昂贵高保真度模拟次数的同时，保持较大的集合规模以实现可靠的协方差估计。
• 在时间分数阶反扩散问题上验证该方法的有效性，实现更优的收敛性与更低的误差。

提出的方法

• 该方法结合低阶多项式混沌展开与少量高保真度前向模型评估，构建多保真度PC代理。
• 在每次EKI迭代中，利用更新后的参数估计自适应地优化代理模型以提升精度。
• 通过大量来自低成本、优化后的多保真度PC代理的实现计算集合更新，避免重复进行高保真度评估。
• 高保真度模型仅用于更新和优化代理模型，而非每个集合成员，显著降低了总计算成本。
• 该方法将自适应优化与迭代正则化EKI相结合，即使在非线性情形下也能实现稳定收敛。
• 该方法采用类似信赖域的容差准则控制代理精度，确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在EKI迭代过程中自适应地优化多保真度PC代理，以减少对高保真度模型评估的依赖？
• RQ2 将低阶PC代理与最小数量的高保真度评估相结合，是否能提升高维反问题中EKI的精度与效率？
• RQ3 与标准EKI和基于PC的EKI相比，自适应多保真度PC-基于EKI在计算成本与重构误差方面表现如何？
• RQ4 该方法是否能在少量高保真度评估与大集合规模下维持稳定收敛与准确的参数估计？
• RQ5 代理阶数与优化策略对最终反演精度与计算效率有何影响？

主要发现

• 自适应多保真度PC（AMPC）方法仅使用46次高保真度评估与157次代理评估，即实现0.0889的相对误差，显著优于基于PC的EKI（N=3时相对误差为0.2146，N=2时为0.3430）。
• AMPC的总计算时间为13.04秒，而基于PC的EKI（N=3）为263.20秒，显著缩短了运行时间。
• AMPC在更低的代理阶数（N=1）与远少的高保真度评估（46 vs. 4600）下，精度仍优于基于PC的EKI（N=3）。
• 该方法将高保真度模型评估次数从经典EKI的5700次减少至AMPC的46次，昂贵模拟减少了99.2%。
• 自适应优化策略使代理模型在极少高保真度输入下仍保持高精度，同时在小集合规模下维持了可靠的集合协方差估计。
• 在二维时间分数阶反扩散问题上的数值结果证实，AMPC在显著降低计算成本的同时，提供了比经典EKI与基于PC的EKI更精确的重构结果。