[论文解读] An Adaptive Version of Brandes' Algorithm for Betweenness Centrality

Matthias Bentert, Alexander J. Dittmann+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complex Network Analysis Techniques被引用 2

一句话总结

本文提出了一种自适应的介数中心性算法，时间复杂度为 O(kn)，其中 k 为输入图的反馈边数。通过将先前针对度为一的顶点的预处理方法扩展至度为二的顶点，利用最大诱导路径上的动态规划，作者在稀疏、树状图中实现了比 Brandes 的 O(nm) 算法更紧致的理论最坏情况时间复杂度。

ABSTRACT

Betweenness centrality - measuring how many shortest paths pass through a vertex - is one of the most important network analysis concepts for assessing the relative importance of a vertex. The well-known algorithm of Brandes [2001] computes, on an n-vertex and m-edge graph, the betweenness centrality of all vertices in O(nm) worst-case time. In follow-up work, significant empirical speedups were achieved by preprocessing degree-one vertices and by graph partitioning based on cut vertices. We further contribute an algorithmic treatment of degree-two vertices, which turns out to be much richer in mathematical structure than the case of degree-one vertices. Based on these three algorithmic ingredients, we provide a strengthened worst-case running time analysis for betweenness centrality algorithms. More specifically, we prove an adaptive running time bound O(kn), where k < m is the size of a minimum feedback edge set of the input graph.

研究动机与目标

• 开发一种在稀疏现实世界网络中计算介数中心性的理论改进算法。
• 解决度为二的顶点在最短路径计算中比度为一的顶点更复杂的计算挑战。
• 提供一种适应输入图结构稀疏性的严格最坏情况运行时间分析。
• 将先前针对度为一顶点的预处理及割点使用方法扩展至包含度为二的顶点的算法优化。
• 基于反馈边数 k 建立新的参数化上界，该上界在线性时间与 Brandes 原始上界之间插值。

提出的方法

• 通过收缩度为一的顶点对图进行预处理，从而在不改变介数中心性值的情况下减小图的规模。
• 使用动态规划识别并处理度为二的顶点的最大诱导路径，以高效计算其对介数中心性的贡献。
• 使用动态规划表在每一步中以常数时间计算最大路径上相邻顶点之间路径贡献的差异。
• 利用预先计算的表（W_left, W_right）实现在 O(|V(P_max)|) 时间内计算最大路径外顶点的介数贡献。
• 整合后处理步骤，通过维护 Inc[s,t] 值来考虑 V≥3(G) 中顶点对的贡献，这些值累积了来自度为二及更高度顶点的贡献。
• 将度为一顶点收缩、割点划分以及度为二路径处理的结果整合为一个统一的算法，时间与空间复杂度均为 O(kn)。

实验结果

研究问题

• RQ1 度为二的顶点是否可以以一种方式处理，从而在介数中心性的最坏情况时间复杂度上实现可证明的改进？
• RQ2 将度为二顶点的处理整合进自适应算法是否能为稀疏图提供比 Brandes 的 O(nm) 更紧致的运行时间上界？
• RQ3 反馈边数 k 是否是合适的结构参数，能够实现介数中心性自适应时间复杂度的上界？
• RQ4 是否可以利用度为二顶点的最大诱导路径上的动态规划，实现每条路径线性时间的介数贡献计算？
• RQ5 对度为一顶点、割点以及度为二顶点的预处理方法进行组合，对整体渐近性能有何影响？

主要发现

• 所提出的算法时间复杂度为 O(kn)，其中 k 为反馈边数，提供了比 Brandes 的 O(nm) 算法更紧致的理论最坏情况上界。
• 对于 k 为常数的图（如树，k = 0），该算法可实现线性时间，并在稠密图（k ≈ m）时插值逼近 O(nm)。
• 在度为二顶点的最大诱导路径上使用动态规划，可实现 O(|V(P_max)|) 时间内计算其介数贡献。
• 使用预先计算的 W_left 和 W_right 表可实现路径贡献差异的常数时间更新，这对每条路径的线性时间处理至关重要。
• 该算法将度为一顶点的预处理、割点处理以及度为二顶点的路径处理整合为统一框架，时间与空间复杂度均为 O(kn)。
• 理论上的改进在树状图中最为显著，此时 k = m − n + 1 较小，例如在学术导师网络或公司所有权图中。