[论文解读] An algebraic approach to the set of intervals

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Mathematics and Applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过将实数区间扩展到 R² 中的广义区间，为区间集合引入了范数向量空间结构，从而建立了一致的代数框架。它构建了一个四维结合代数，统一了区间算术运算，包括广义除法与欧几里得除法，解决了经典区间算术中的不一致性问题。

ABSTRACT

This paper is devoted to a new approach of the arithmetic of intervals. We present the set of intervals as a normed vector space. We define also a four-dimensional associative algebra whose product gives the product of intervals in any cases. This approach allows to give a notion of divisibility and in some cases an euclidian division. We introduce differential calculus and give some applications.

研究动机与目标

• 通过将区间扩展到 R² 中的广义区间，建立区间集合上的范数向量空间结构。
• 通过引入统一的代数框架，解决经典区间算术中的不一致性问题。
• 定义一个四维结合代数，以涵盖区间端点所有符号组合下的区间乘法推广。
• 在区间框架内实现除法与欧几里得除法等代数运算。
• 利用所提出的代数结构，将线性与非线性规划扩展至区间值变量。

提出的方法

• 将区间表示为 R² 中的点 (a,b)，其中 a ≤ b，形成一个半平面 P₁，并扩展至 R² 以定义广义区间。
• 通过 (IR, +) 的对称化构造群 (R̄IR, +)，利用在 (x,y) ~ (z,t) 当且仅当 x+t = y+z 下的等价类。
• 定义对偶映射 φ: (a,b) ↦ (b,a)，以支持广义区间的 Kaucher 算术。
• 引入一个具有基元素 e₁, e₂, e₃, e₄ 的四维结合代数，用于建模所有符号组合下的区间乘法（P₁,₁, P₁,₂, P₁,₃）。
• 利用代数积推导出区间乘法的投影，确保所有符号组合下的一致性。
• 通过定义区间值线性映射并应用带有区间主元规则的改进单纯形算法，将线性与非线性规划扩展至区间变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管区间算术具有非结合性与不支持除法的特性，能否通过单一代数结构实现其一致的统一？
• RQ2 能否构造一个四维结合代数，以涵盖区间端点所有符号组合下的区间乘法？
• RQ3 如何利用 a > b 的广义区间 (a,b) 构造支持减法与逆运算的群结构？
• RQ4 求解具有区间值变量与约束的线性规划问题时，对单纯形算法需进行哪些修改？
• RQ5 如何利用所提出的代数框架与区间导数，将非线性规划适配至区间变量？

主要发现

• 区间集合 IR 嵌入范数向量空间 R̄IR ≅ R² 中，构成加法下的群，其元素为广义区间。
• 对偶映射 φ: (a,b) ↦ (b,a) 支持 Kaucher 算术的构建，实现一致的减法与逆运算。
• 构造了一个具有基元素 e₁, e₂, e₃, e₄ 的四维结合代数，其乘积结构可建模所有符号组合下的区间乘法。
• 代数积在所有情况下均投影为正确的区间乘法，包括一个或两个区间跨过零点的情形。
• 改进的单纯形算法通过基于区间长度比选择主元，保持了区间形式右侧的正性。
• 对于非线性规划，最优解通过在区间值参数空间中求解 f′(X₀) = 0 得到，扩展了经典最优性条件。