[论文解读] An alternative to Minkowski space-time

José B. Almeida|ArXiv.org|Apr 11, 2001

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用 87

一句话总结

本文提出一个四维欧几里得空间——称为“光学空间”——其中所有粒子与光子的轨迹均遵循由 $ c^2(dt)^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta $ 定义的测地线，时间间隔用于度量测地线弧长。该理论证明与闵可夫斯基时空及史瓦西几何在测地线映射下等价，将引力、电磁学与光学统一于单一几何框架之下，并提出波粒二象性与量子化的几何基础。

ABSTRACT

The starting point of this work is the principle that all movement of particles and photons must follow geodesics of a 4-dimensional space where time intervals are always a measure on geodesic arc lengths. The last 3 coordinates (alpha = 1,2,3) are immediately associated with the usual physical space coordinates, while the first coordinate (α=0) is later found to be related to proper time. Avoiding the virtually hopeless effort to prove the initial hypothesis, the work goes through several examples of increasing complexity, to show that it is plausible. Starting with special relativity it is shown that there is perfect mapping between the geodesics on Minkowski space-time and on this alternative space. The discussion than follows through light propagation in a refractive medium, and some cases of gravitation, including Schwartzschild's outer metric. The last part of the presentation is dedicated to electromagnetic interaction and Maxwell's equations, showing that there is a particular solution where one of the space dimensions is eliminated and the geodesics become equivalent to light rays in geometrical optics. A very brief discussion is made of the implications for wave-particle duality and quantization.

研究动机与目标

• 提出一种基于四维欧几里得空间的闵可夫斯基时空替代几何框架，其中时间间隔用于度量测地线弧长。
• 证明狭义与广义相对论中的粒子与光子轨迹可等价地由该新空间中的测地线描述。
• 通过基于度量的测地线原理，将引力、电磁学与光学传播统一于单一几何形式体系。
• 通过将粒子轨迹与四维波动方程关联，探讨波粒二象性与量子化的潜在影响。
• 通过以欧几里得几何替代洛伦兹度量符号，建立简化求解相对论方程的基础。

提出的方法

• 定义一个具有度量 $ c^2(dt)^2 = g_{\alpha\beta} dx^\alpha dx^\beta $ 的四维空间，其中 $ x^0 $ 为与固有时间相关的坐标，$ x^1,x^2,x^3 $ 为空间坐标。
• 利用由拉格朗日量 $ L = m^2 \delta_{ab} \dot{x}^a \dot{x}^b $ 推导出的测地线方程，描述光学空间中粒子的运动。
• 将闵可夫斯基时空中的测地线映射至光学空间，表明尽管不存在逐点坐标变换，轨迹之间仍存在一一对应关系。
• 通过将四维度量约化为三维子空间，将该形式体系应用于折射介质中的光传播，将其与费马原理及折射率联系起来。
• 通过场张量 $ F_{\alpha\beta} $ 引入电磁场，将其变换至洛伦兹力变为静电场的参考系，并将其嵌入度量中。
• 推导出沿 $ x^0 $ 方向动量为零的条件，从而导出三维光学拉格朗日量 $ L = m^2 \delta_{ab} \dot{x}^a \dot{x}^b $，其中 $ m^2 $ 充当有效折射率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有时间弧长度量的四维欧几里得空间中，闵可夫斯基时空中的粒子与光子轨迹是否可等价地由测地线描述？
• RQ2 所提出的光学空间在史瓦西度量下是否能给出与广义相对论等价的预测？
• RQ3 电磁相互作用能否一致地嵌入度量中，使得带电粒子的运动遵循测地线？
• RQ4 能否通过统一的四维测地线框架，实现引力、电磁学与光学传播的几何统一？
• RQ5 波粒二象性与量子化是否能自然地从与粒子轨迹相关的四维波动方程中产生？

主要发现

• 闵可夫斯基时空中的测地线可完美映射至所提出的光学空间中的测地线，验证了该框架在狭义相对论中的有效性。
• 史瓦西度量的测地线亦可映射至光学空间，证实其在广义相对论中弯曲时空下的适用性。
• 折射介质中的光传播由四维光学空间的三维子空间描述，度量中的有效质量项充当折射率。
• 光子的拉格朗日量约化为 $ L = m^2 \delta_{ab} \dot{x}^a \dot{x}^b $，表明其与费马原理及几何光学的等价性。
• 通过变换后的场张量 $ F_{\alpha\beta} $ 引入电磁相互作用，使带电粒子轨迹在度量中遵循测地线。
• 当粒子被限制于小轨道或强场中时，量子化以几何方式产生，通过曲率将康普顿波长与德布罗意波长联系起来。