[论文解读] An Analysis of Tennenbaum’s Theorem in Constructive Type Theory

Hermes, Marc, Kirst, Dominik|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

该论文表明，Church 的论题——即所有自然数上的函数都是可计算的——在立方类型理论的标准立方叠装模型中不成立，但通过在立方叠装中构造一个反射子范畴，使其与一致类型理论保持一致，此时 Church 的论题成立。关键贡献在于提出了一种新模型，调和了同伦类型论中的同伦等价性与递归构造数学核心原则之间的矛盾。

ABSTRACT

Tennenbaum’s theorem states that the only countable model of Peano arithmetic (PA) with computable arithmetical operations is the standard model of natural numbers. In this paper, we use constructive type theory as a framework to revisit and generalize this result. The chosen framework allows for a synthetic approach to computability theory, by exploiting the fact that, externally, all functions definable in constructive type theory can be shown computable. We internalize this fact by assuming a version of Church’s thesis expressing that any function on natural numbers is representable by a formula in PA. This assumption allows for a conveniently abstract setup to carry out rigorous computability arguments and feasible mechanization. Concretely, we constructivize several classical proofs and present one inherently constructive rendering of Tennenbaum’s theorem, all following arguments from the literature. Concerning the classical proofs in particular, the constructive setting allows us to highlight differences in their assumptions and conclusions which are not visible classically. All versions are accompanied by a unified mechanization in the Coq proof assistant.

研究动机与目标

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• 解决类型论中 Church 的论题与同伦等价性之间的张力。
• 构造一个一致类型理论的模型，使得 Church 的论题成立，尽管其在标准立方叠装模型中不成立。
• 扩展反射子范畴与立方叠装在构造数学基础原则中的适用性。
• 为同伦类型论提供新的模型，用于一致性结果，特别是对于像 Markov 原理和 Brouwer 连续性原理这样的公理。

提出的方法

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• 作者以立方叠装模型为基础，该模型支持带有命题截断的扩展类型论。
• 他们应用 Rijke、Shulman 和 Spitters 的 Σ-封闭反射子范畴理论，在立方叠装中构造一个反射子范畴。
• 通过适当的反射机制，确保子范畴中所有函数 N→N 都是可计算的，从而保证 Church 的论题成立。
• 通过证明空类型 ⊥ 没有全局截面，验证模型的一致性，确保逻辑一致性。
• 利用常值预层的良支撑性与函子性，将 Markov 原理和 Brouwer 连续性原理等性质从叠装传递到模型中。
• 通过证明关键公理——包括同伦等价性、命题截断、Church 的论题和 Markov 原理——在构造的设定中协调一致，验证了模型的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 .
• RQ2 鉴于 Church 的论题在标准立方叠装模型中不成立，是否可以将其一致地添加到一致类型理论中？
• RQ3 如何在立方叠装中构造一个反射子范畴，使得 Church 的论题在其中成立？
• RQ4 该模型在逻辑上是否一致，特别是空类型元素的不存在性是否成立？
• RQ5 是否可以在此模型中同时验证额外的构造性原理，如 Markov 原理和 Brouwer 连续性原理？
• RQ6 反射子范畴在调和类型论中的同伦等价性与递归构造主义之间起到什么作用？

主要发现

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• Church 的论题在立方类型理论的立方叠装标准解释中为假，尽管其在模型的内部逻辑中为真。
• 构造了一个立方叠装的反射子范畴，其中 Church 的论题成立，证明了其与一致类型理论的一致性。
• 该模型同时满足同伦等价性、命题截断、Church 的论题和 Markov 原理，且 ⊥ 没有全局截面。
• Brouwer 连续性原理也在该模型中得到验证，为该原理与一致类型理论的一致性提供了新证明。
• 该构造依赖于反射子范畴和良支撑性，将性质从叠装传递到立方设定中。
• 该方法为同伦类型论中的一致性结果提供了新框架，具有扩展至高阶归纳类型和扩展 Church 论题的潜力。