[论文解读] An Analysis of the Effect of Ghost Force Oscillation on Quasicontinuum Error

Matthew Dobson, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2008

Microstructure and mechanical properties参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文分析了在原子-连续体耦合的准连续（QC）方法中鬼力振荡的影响。在一般凹形第二近邻相互作用势的假设下，证明了鬼力几乎在位移误差中相互抵消，从而在 ℓ∞ 和 w1,1 范数下实现最优的 O(h) 收敛率；在原子区，位移梯度误差在距离界面 O(h|log h|) 的区域内呈指数衰减至 O(h)，在连续区则为 O(h)，表现出最优收敛性。

ABSTRACT

The atomistic to continuum interface for quasicontinuum energies exhibits nonzero forces under uniform strain that have been called ghost forces. In this paper, we prove for a linearization of a one-dimensional quasicontinuum energy around a uniform strain that the effect of the ghost forces on the displacement nearly cancels and has a small effect on the error away from the interface. We give optimal order error estimates that show that the quasicontinuum displacement converges to the atomistic displacement at the optimal rate O($h$) in the discrete $\ell^\infty$ norm and O($h^{1/p}$) in the $w^{1,p}$ norm for $1 \leq p < \infty.$ where $h$ is the interatomic spacing. We also give a proof that the error in the displacement gradient decays away from the interface to O($h$) at distance O($h|\log h|$) in the atomistic region and distance O($h$) in the continuum region. E, Ming, and Yang previously gave a counterexample to convergence in the $w^{1,\infty}$ norm for a harmonic interatomic potential. Our work gives an explicit and simplified form for the decay of the effect of the atomistic to continuum coupling error in terms of a general underlying interatomic potential and gives the estimates described above in the discrete $\ell^\infty$ and $w^{1,p}$ norms.

研究动机与目标

• 分析在均匀应变下非零界面力（即鬼力）对原子-连续体耦合中 QC 误差的影响。
• 在具有凹形第二近邻相互作用的一般原子势下，建立 QC 位移和位移梯度的最优误差估计。
• 表明鬼力的影响几乎相互抵消，尽管界面处存在非物理力，但整体区域的误差仍很小。
• 提供位移梯度误差的显式衰减估计，量化界面区域的大小。

提出的方法

• 在一维原子能及其 QC 近似围绕均匀应变线性化，得到三个系统：原子系统、连续系统和含鬼力项 g 的 QC 系统。
• 推导 QC 误差方程 Lqc,h uqc − g = f，其中 g 表示局域于界面的鬼力贡献。
• 使用矩阵分析和渐近展开求解误差系统，表明解的各分量 m、ũK+1 和 β 均为 O(h)。
• 应用离散 ℓp 和 w1,p 范数来控制位移和位移梯度的误差，利用矩阵逆的统一有界性。
• 通过控制 λ-j 项（其中 λ > 1 为衰减速率），建立原子区域内导数误差的指数衰减。
• 考虑连续区网格粗化的影响，表明由于解的线性性，其不影响误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 鬼力振荡如何影响一般原子势下 QC 近似中的整体误差？
• RQ2 QC 位移在离散范数下的收敛速率是多少？
• RQ3 位移梯度的误差如何随远离原子-连续体界面而衰减？
• RQ4 界面区域的大小能否用 h 表示？其是否影响误差大小？
• RQ5 位移梯度的误差在界面之外是否一致有界于 O(h)，其衰减速率如何？

主要发现

• QC 位移误差在 ℓ∞ 范数下被控制为 Ch，表明实现了最优的 O(h) 收敛率。
• 位移梯度误差在 w1,p 范数下被控制为 Ch^{1/p}（1 ≤ p ≤ ∞），确认了最优收敛率。
• 在原子区，位移梯度误差呈指数衰减，并在距离界面 O(h|log h|) 的范围内达到 O(h)。
• 在连续区，对所有 j ≥ K+2，位移梯度误差为 O(h)，表明在界面之外立即衰减。
• 求解误差系统所用矩阵的逆具有统一有界性，确保了不依赖于 K 和 h 的稳定性与收敛性。
• 即使连续区被粗化，只要不移除靠近界面的自由度，结果依然成立。