[论文解读] An analysis of the practical DPG method

Jay Gopalakrishnan, Weifeng Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用 7

一句话总结

该论文对拉普拉斯方程和线性弹性力学的实用间断伽辽金-伽辽金（DPG）方法进行了完整的误差分析，表明当试函数到测试函数的算子 $ T $ 使用次数为 $ r \geq p + N $ 的多项式进行近似时，最优收敛率得以保持，其中 $ p $ 为试函数多项式的次数，$ N $ 为空间维数。该分析考虑了方法实现中所有实际近似，包括离散测试函数的使用以及由此导致的刚度矩阵条件数问题。

ABSTRACT

In this work we give a complete error analysis of the Discontinuous Petrov Galerkin (DPG) method, accounting for all the approximations made in its practical implementation. Specifically, we consider the DPG method that uses a trial space consisting of polynomials of degree $p$ on each mesh element. Earlier works showed that there is a "trial-to-test" operator $T$, which when applied to the trial space, defines a test space that guarantees stability. In DPG formulations, this operator $T$ is local: it can be applied element-by-element. However, an infinite dimensional problem on each mesh element needed to be solved to apply $T$. In practical computations, $T$ is approximated using polynomials of some degree $r > p$ on each mesh element. We show that this approximation maintains optimal convergence rates, provided that $r\ge p+N$, where $N$ is the space dimension (two or more), for the Laplace equation. We also prove a similar result for the DPG method for linear elasticity. Remarks on the conditioning of the stiffness matrix in DPG methods are also included.

研究动机与目标

• 提供对实用DPG方法的完整误差分析，涵盖其在实现过程中所作的所有近似。
• 建立当试函数到测试函数的算子 $ T $ 使用高阶多项式近似时，DPG方法的最优收敛率。
• 分析实用DPG公式中刚度矩阵的条件数。
• 将理想DPG方法的理论框架扩展至完全可实现的实用变体。
• 验证该方法在二阶椭圆问题（包括线性弹性力学）中的鲁棒性与收敛性特征。

提出的方法

• 通过将无限维的试函数到测试函数的算子 $ T $ 用有限维测试函数空间中次数为 $ r $ 的Galerkin投影定义的离散算子 $ T^r $ 进行近似，来构建实用DPG方法。
• 采用带有杂交化未知量（通量、迹和数值迹）的超弱变分格式，以确保测试函数计算的局部可解性。
• 离散测试空间 $ V_h^r $ 构造为 $ T^r(U_h) $，其中 $ U_h $ 为次数为 $ p $ 的试函数多项式空间，且 $ T^r $ 通过每个单元上的局部求解逐单元计算。
• 一个关键技术工具是使用投影算子 $ \varPi_{p+2}^{(\mathrm{div},\mathbb{S})} $，其保持散度性质并与变分格式中的微分算子可交换。
• 分析依赖于新引理，以验证必要的稳定性与一致性条件，特别是残差与离散测试空间正交的性质。
• 由于测试函数空间具有间断伽辽金结构，证明了刚度矩阵为分块对角形式，从而可通过局部求逆实现高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当试函数到测试函数的算子使用次数为 $ r $ 的多项式近似时，实用DPG方法的收敛率是多少？
• RQ2 试函数到测试函数的算子 $ T $ 由 $ T^r $ 近似时，是否保持了理想DPG方法的最优收敛特性？
• RQ3 为使拉普拉斯方程的近似 $ T^r $ 维持最优收敛率，所需的最小多项式次数 $ r $ 是多少？
• RQ4 在试函数到测试函数的算子 $ T $ 被近似时，实用DPG方法中刚度矩阵的条件数表现如何？
• RQ5 理想DPG方法的理论框架能否扩展至线性弹性力学的完全离散、可实现的实用变体？

主要发现

• 对于拉普拉斯方程，若 $ r \geq p + N $，其中 $ N $ 为空间维数，则实用DPG方法保持最优收敛率。
• 实用DPG方法的误差估计为拟最优，其误差被试函数空间中最佳逼近误差所控制。
• 分析证实，只要 $ r \geq p + N $，试函数到测试函数算子 $ T $ 由 $ T^r $ 近似不会降低收敛率。
• 由于采用超弱格式与杂交化策略，即使测试函数通过每个单元上的局部求解计算，方法仍保持稳定与最优收敛。
• 实用DPG方法中的刚度矩阵为分块对角形式，这保证了高效的求解过程与有利的条件数。
• 对于线性弹性力学，在相同条件 $ r \geq p + N $ 下，也建立了类似的拟最优误差估计，前提是弹性模量张量在每个单元内为常数。