[论文解读] An approach to computing downward closures

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

semigroups and automata theory参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文提出了一种计算词语言下闭包的一般性方法，通过将问题约化为同时无界性性质（SUP）的检查。证明了对于在有理转换下封闭且帕里克图像具有有效半线性的语言类，下闭包是可计算的，从而扩展至矩阵语言和索引语言——为此前已建立和新发现的语言类提供了一种统一且简化的计算方法。

ABSTRACT

The downward closure of a word language is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of its members. It is well-known that the downward closure of any language is regular. While the downward closure appears to be a powerful abstraction, algorithms for computing a finite automaton for the downward closure of a given language have been established only for few language classes. This work presents a simple general method for computing downward closures. For language classes that are closed under rational transductions, it is shown that the computation of downward closures can be reduced to checking a certain unboundedness property. This result is used to prove that downward closures are computable for (i) every language class with effectively semilinear Parikh images that are closed under rational transductions, (ii) matrix languages, and (iii) indexed languages (equivalently, languages accepted by higher-order pushdown automata of order 2).

研究动机与目标

• 开发一种计算词语言下闭包的一般性、系统性方法，因为对于许多语言类而言，下闭包的计算原本十分困难。
• 解决如下挑战：尽管下闭包始终是正则语言，但一般情况下计算其有限自动机是不可判定的。
• 识别下闭包变得可计算的充分条件，特别关注封闭性质和帕里克图像的半线性。
• 将下闭包的可计算性扩展至上下文无关语言和佩特里网语言之外，包括矩阵语言和索引语言。
• 通过将所有算法约化为单一核心问题——同时无界性问题（SUP）——统一并简化现有的下闭包计算算法。

提出的方法

• 将计算下闭包的问题约化为求解同时无界性问题（SUP），即检查语言是否位于 $a_1^* \cdots a_n^*$ 中并包含所有字母指数任意大的词。
• 利用如下事实：若语言类在有理转换下封闭且其帕里克图像具有有效半线性，则SUP是可判定的，从而意味着下闭包是可计算的。
• 使用有理转换将原始语言转换为可检查SUP的形式，利用此类操作下的封闭性。
• 通过分析语法中推导树和切片分解的结构，为索引语言和矩阵语言构造下闭包的有限自动机。
• 将该方法应用于有限索引散列上下文语法，以模拟推导过程并生成正确的子词集合，确保结果语言的正则性。
• 通过切片树的前序遍历生成初始句型，并定义生产序列以并行模拟压栈和弹栈操作，保持正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于超出上下文无关语言和佩特里网语言的语言类，是否可以以一种通用且系统化的方式计算语言的下闭包？
• RQ2 在何种条件下，同时无界性问题（SUP）是可判定的，这与下闭包的可计算性有何关联？
• RQ3 能否通过统一框架将下闭包的可计算性扩展至矩阵语言和索引语言？
• RQ4 下闭包计算在多大程度上可约化为检查半线性性质和有理转换下的封闭性？
• RQ5 所提出的方法在多大程度上简化或统一了已知语言类中下闭包计算的现有算法？

主要发现

• 任何语言的下闭包都是正则语言，但一般情况下计算其有限自动机是不可判定的。
• 对于在有理转换下封闭且帕里克图像具有有效半线性的语言类，下闭包可通过同时无界性问题（SUP）实现可计算。
• 该方法重新证明了上下文无关语言和堆叠计数器自动机的可计算性，并将其扩展至多上下文无关语言和矩阵语言。
• 索引语言（等价于二阶高阶下推自动机所接受的语言）的下闭包是可计算的，解决了长期存在的开放性问题。
• 该方法通过将所有算法约化为单一核心问题——SUP——简化了现有算法，从而统一并优化了计算流程。
• 通过一个有限索引散列上下文语法构造了下闭包的有限自动机，该语法模拟了推导树和切片结构。