[论文解读] An Approximation Algorithm for Two-Edge-Connected Subgraph Problem via Triangle-Free Two-Edge-Cover

Yusuke Kobayashi, Takashi Noguchi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Optical Network Technologies被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种针对2-边连通生成子图问题（2-ECSS）的(1.3 + ε)-近似算法，优于此前最佳比值1.326。该方法利用Hartvigsen的多项式时间最大无三角形2-匹配算法，计算最小无三角形2-边覆盖，再通过改进的归约与收缩技术，将其转化为2-边连通生成子图。

ABSTRACT

The $2$-Edge-Connected Spanning Subgraph problem (2-ECSS) is one of the most fundamental and well-studied problems in the context of network design. In the problem, we are given an undirected graph $G$, and the objective is to find a $2$-edge-connected spanning subgraph $H$ of $G$ with the minimum number of edges. For this problem, a lot of approximation algorithms have been proposed in the literature. In particular, very recently, Garg, Grandoni, and Ameli gave an approximation algorithm for 2-ECSS with factor $1.326$, which was the best approximation ratio. In this paper, we give a $(1.3+\varepsilon)$-approximation algorithm for 2-ECSS, where $\varepsilon$ is an arbitrary positive fixed constant, which improves the previously known best approximation ratio. In our algorithm, we compute a minimum triangle-free $2$-edge-cover in $G$ with the aid of the algorithm for finding a maximum triangle-free $2$-matching given by Hartvigsen. Then, with the obtained triangle-free $2$-edge-cover, we apply the arguments by Garg, Grandoni, and Ameli.

研究动机与目标

• 改进2-边连通生成子图问题（2-ECSS）的最佳已知近似比值。
• 设计一种时间复杂度为多项式的近似算法，其比值低于此前最佳界限1.326。
• 展示无三角形2-边覆盖在提升2-ECSS近似保证方面的有效性。
• 提供一种确定性算法，对任意固定的ε > 0，实现(1.3 + ε)-近似。

提出的方法

• 使用Hartvigsen的无三角形2-匹配最大匹配算法，在输入图中计算最小无三角形2-边覆盖。
• 应用Garg、Grandoni与Ameli框架中的归约与收缩步骤，以简化图结构。
• 通过局部操作将无三角形2-边覆盖转换为半规范形式，以减少连通分量与桥边数量。
• 基于桥边数量的大小界分析，推导出2-边连通子图的(13/10 − 1/(20b))-近似比。
• 利用任意可行2-ECSS解必为无三角形2-边覆盖的性质，对最优解提供下界。
• 确保所有操作保持边数不变，并在每一步提升(|H′|, cc(H′), br(H′))的字典序，以保证多项式时间内终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结构化的边覆盖技术，将2-ECSS的近似比值改进至1.326以下？
• RQ2 Hartvigsen的无三角形2-匹配算法在2-ECSS近似背景下是否具有实用性？
• RQ3 能否高效计算最小无三角形2-边覆盖，并利用其获得更优的近似保证？
• RQ4 将无三角形2-边覆盖与现有归约框架结合，是否能获得更优的近似比值？
• RQ5 通过优化最终子图构造中的基于桥边的大小分析，能否进一步降低近似比值？

主要发现

• 本论文实现了2-ECSS的(1.3 + ε)-近似比值，优于此前最佳比值1.326。
• 可利用Hartvigsen的无三角形2-匹配最大匹配算法，在多项式时间内计算最小无三角形2-边覆盖。
• 2-ECSS的最优解值至少等于任意无三角形2-边覆盖的大小，从而提供有效的下界。
• 该算法将无三角形2-边覆盖转换为2-边连通生成子图，其大小至多为覆盖大小的(13/10 − 1/(20b))倍，其中b为桥边所占比例。
• 由于每一步操作均使(|H′|, cc(H′), br(H′))的字典序严格提升，该过程在多项式时间内终止。
• 结果表明，无三角形2-边覆盖是提升2-ECSS近似比值的强大结构工具。