[论文解读] An Asymptotically Fast Polynomial Space Algorithm for Hamiltonicity Detection in Sparse Directed Graphs

Andreas Björklund|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文提出了一种多项式空间的蒙特卡洛算法，可在 2ⁿ⁻Ω(ⁿ/δ) 时间内检测稀疏有向图中的哈密顿回路，其渐近时间复杂度与目前已知的最快指数空间算法一致。该算法结合了拉普拉斯矩阵的包含-排除指纹技术与 Z₂ 线性系统筛法，高效地列出非零项而无需指数空间，相较于以往的多项式空间方法实现了显著的运行时间提升。

ABSTRACT

We present a polynomial space Monte Carlo algorithm that given a directed graph on $n$ vertices and average outdegree $δ$, detects if the graph has a Hamiltonian cycle in $2^{n-Ω(\frac{n}δ)}$ time. This asymptotic scaling of the savings in the running time matches the fastest known exponential space algorithm by Björklund and Williams ICALP 2019. By comparison, the previously best polynomial space algorithm by Kowalik and Majewski IPEC 2020 guarantees a $2^{n-Ω(\frac{n}{2^δ})}$ time bound. Our algorithm combines for the first time the idea of obtaining a fingerprint of the presence of a Hamiltonian cycle through an inclusion--exclusion summation over the Laplacian of the graph from Björklund, Kaski, and Koutis ICALP 2017, with the idea of sieving for the non-zero terms in an inclusion--exclusion summation by listing solutions to systems of linear equations over $\mathbb{Z}_2$ from Björklund and Husfeldt FOCS 2013.

研究动机与目标

• 弥合稀疏有向图哈密顿性检测中指数空间与多项式空间算法之间的差距。
• 在仅使用多项式空间的前提下，实现与目前已知最快指数空间算法相同的渐近时间复杂度提升（2ⁿ⁻Ω(ⁿ/δ)）。
• 通过用 Z₂ 上的高效项枚举替代查表法，提供一种实用且可并行化的指数空间方法替代方案。
• 证明哈密顿回路检测的加速效果并非本质上依赖于指数空间的使用。

提出的方法

• 基于拉普拉斯矩阵的包含-排除求和，采用指纹技术检测哈密顿回路的存在性。
• 应用基于在 Z₂ 上求解线性方程组的筛法，识别包含-排除求和中的非零贡献项。
• 通过随机采样点 z 和奇偶性向量 q，概率性地隔离求和中的非平凡项。
• 通过求解由顶点子集和奇偶性约束导出的线性系统 E(y*, p)，生成贡献赋值 y: V\{t} → {0,1}。
• 采用流式处理方法逐个列出解，而无需存储整个解列表，从而确保多项式空间使用。
• 当生成的项数超过期望值的 n 倍时，实施拒绝机制，以保证有界的期望运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用多项式空间实现 2ⁿ⁻Ω(ⁿ/δ) 的哈密顿性检测运行时间加速？
• RQ2 先前快速算法中所需的指数空间是否在实现该加速时本质上是必需的？
• RQ3 是否可以将拉普拉斯矩阵上的包含-排除指纹技术与 Z₂ 线性系统枚举相结合，以实现多项式空间计算？
• RQ4 该算法在实践中是否能够实现高效且可并行化？
• RQ5 随机化是否允许在不牺牲渐近运行时间性能的前提下，显著降低空间复杂度？

主要发现

• 该算法以多项式空间使用在 2ⁿ⁻Ω(ⁿ/δ) 时间内运行，其渐近时间复杂度与目前已知的最快指数空间算法一致。
• 贡献项赋值的期望数量被限制在 2ⁿ⁻Ω(ⁿ/δ) 以内，该值主导了算法的运行时间。
• 该算法的误报概率至多为 2/n，通过 100 log n 次独立重复可降低至可忽略水平。
• 该方法通过使用流式、即时枚举 Z₂ 线性系统解的方式，而非存储所有解，避免了指数空间的使用。
• 该算法具有高度可并行性，因为求和的不同独立部分可并行计算，并在最后合并。
• 该方法成功通过包含-排除与 Z₂ 上线性代数的创新组合，替代了先前算法中对查表的需求。