[论文解读] An Economic-Based Analysis of RANKING for Online Bipartite Matching

Alon Eden, Michal Feldman+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文为在线二分图匹配中的 RANKING 算法提供了经济学解释，将问题建模为市场过程，其中物品具有随机价格，买家根据理性原则最大化效用。通过将匹配过程视为收益与效用之间的权衡，作者给出了一种无需对偶的简洁证明，表明 RANKING 达到了 $1 - \frac{1}{e}$ 的竞争比，简化了先前的分析，并通过微观经济原理提供了新的直观理解。

ABSTRACT

In their seminal paper, Karp, Vazirani and Vazirani (STOC'90) introduce the online bipartite matching problem, and the RANKING algorithm, which admits a tight $1-\frac{1}{e}$ competitive ratio. Since its publication, the problem has received considerable attention, including a sequence of simplified proofs. In this paper we present a new proof that gives an economic interpretation of the RANKING algorithm -- further simplifying the proof and avoiding arguments such as duality. The new proof gives a new perspective on previous proofs.

研究动机与目标

• 为在线二分图匹配中 RANKING 算法的 $1 - \frac{1}{e}$ 竞争比提供一种新的、简化的证明。
• 通过引入经济学框架，消除对线性规划对偶性的依赖，而这是早期证明的基础。
• 通过效用和收益等经济学概念，为 RANKING 算法的行为提供直观的经济洞察。
• 通过将分析重新表述为市场机制和理性买家行为，统一并澄清现有证明。
• 通过使用具有独立同分布随机价格的基于价格的市场过程，证明竞争比是紧的。

提出的方法

• 将在线二分图匹配问题建模为市场过程，其中物品（右部顶点）被赋予从连续分布 $\widehat{D}$ 中抽取的随机价格。
• 定义买家效用为 $v_i(r_j) - p_j$，其中若边 $ (\ell_i, r_j) \in E $，则 $v_i(r_j) = 1$，否则为 0。
• 使用市场过程：当买家到达时，选择可用物品中效用最高的，从而诱导出一个匹配 $M$。
• 将社会福利表示为 $|M| = \sum_{i} \mathrm{util}_i + \sum_{j} \mathrm{rev}_j$，将匹配大小与总效用和总收益联系起来。
• 证明：对于任意边 $ (\ell_i, r_j) \in E $，买家效用与物品收益之和的期望满足 $ \mathbb{E}[\mathrm{util}_i + \mathrm{rev}_j] \geq 1 - \frac{1}{e} $。
• 使用比较论证：条件于不包含 $r_j$ 的匹配，定义 $p = e^{y-1}$ 为该情形下 $\ell_i$ 所匹配物品的价格，并界定 $p_j < p$ 的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖线性规划对偶性的情况下，通过经济学框架证明 RANKING 算法的竞争比？
• RQ2 将在线匹配建模为具有随机价格和效用最大化买家的市场，如何简化分析？
• RQ3 在随机匹配过程中，买家的期望效用与物品的期望收益之间有何关系？
• RQ4 经济学解释是否保持了 $1 - \frac{1}{e}$ 竞争比的紧性？
• RQ5 能否通过用效用和收益等经济学概念替代对偶变量，使证明更具直观性和可及性？

主要发现

• RANKING 算法实现了至少 $ \left(1 - \frac{1}{e}\right) \cdot |M^*| $ 的期望匹配大小，其中 $ M^* $ 是最大匹配。
• 该证明表明：对于任意边 $ (\ell_i, r_j) \in E $，买家效用与物品收益之和的期望至少为 $ 1 - \frac{1}{e} $，这直接蕴含了竞争比。
• 经济学解释避免了显式使用线性规划对偶性，与 Devanur 等人（2013）等先前工作相比，使证明更加简洁。
• 该结果在买家任意到达顺序下成立，且在从具有无点质量的连续分布 $ \widehat{D} $ 中独立同分布抽取随机价格的条件下依然有效。
• 该证明利用了比较论证：在完整市场中，买家的效用至少与不包含某物品的市场中的效用相当，从而确保 $ \mathrm{util}_i \geq 1 - p $。
• 物品 $ r_j $ 的期望收益下界为 $ p - \frac{1}{e} $，其中 $ p = e^{y-1} $，从而得出最终界限 $ \mathbb{E}[\mathrm{util}_i + \mathrm{rev}_j] \geq 1 - \frac{1}{e} $。