[论文解读] An Efficient Algorithm to Recognize Locally Equivalent Graphs

Mohsen Bahramgiri, Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2007

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了首个高效算法，用于判断在广义局部补全操作下，定义在奇数有限域 𝔽_q 上的两个带标签图是否局部等价。通过将二元局部补全扩展至任意奇数域，并利用域算术，该方法通过基于不变量的比较高效地检测等价性，为非二元情形下的计算图论带来了显著进展。

ABSTRACT

Let $v$ be a vertex of a graph $G$. By the local complementation of $G$ at $v$ we mean to complement the subgraph induced by the neighbors of $v$. This operator can be generalized as follows. Assume that, each edge of $G$ has a label in the finite field $\mathbf{F}_q$. Let $(g_{ij})$ be set of labels ($g_{ij}$ is the label of edge $ij$). We define two types of operators. For the first one, let $v$ be a vertex of $G$ and $a\in \mathbf{F}_q$, and obtain the graph with labels $g'_{ij}=g_{ij}+ag_{vi}g_{vj}$. For the second, if $0 eq b\in \mathbf{F}_q$ the resulted graph is a graph with labels $g''_{vi}=bg_{vi}$ and $g''_{ij}=g_{ij}$, for $i,j$ unequal to $v$. It is clear that if the field is binary, the operators are just local complementations that we described. The problem of whether two graphs are equivalent under local complementations has been studied, \cite{bouchalg}. Here we consider the general case and assuming that $q$ is odd, present the first known efficient algorithm to verify whether two graphs are locally equivalent or not.

研究动机与目标

• 填补在非二元有限域上高效检测图局部等价性算法的空白。
• 将二元局部补全推广至任意奇数域 𝔽_q 上的运算。
• 开发一种计算高效的算法，用于验证两个带标签图在这些广义运算下是否等价。
• 将现有关于二元局部等价的结果扩展至更广泛的奇特征域设置。
• 为在编码理论、量子信息和组合学领域工作的研究人员提供实用工具。

提出的方法

• 在边标签属于 𝔽_q 的图上定义两种广义局部补全运算：一种是加入涉及域标量 a 的双线性项，另一种是将与顶点 v 相连的边按非零标量 b 缩放。
• 利用域算术计算每种运算下的变换边标签：第一种为 g'_{ij} = g_{ij} + a g_{vi} g_{vj}，第二种为 g''_{vi} = b g_{vi}，g''_{ij} = g_{ij}（当 i,j ≠ v 时）。
• 构建在这些运算下保持不变的不变量，使等价图之间可高效比较。
• 将这些不变量应用于将等价性问题转化为在 𝔽_q 上的一系列代数检查，避免穷举搜索。
• 利用域的奇数特征以确保变换规则中可逆性并避免退化情况。
• 设计一种基于运算的规范形式计算策略，以实现图对的确定性比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部补全的概念能否在奇数有限域 𝔽_q 上的带标签图上进行推广，以保持有意义的等价性？
• RQ2 这些广义运算的代数性质是什么，使其能够实现高效的等价性检查？
• RQ3 是否存在一组可在这些运算下高效计算的不变量，用于测试图的等价性？
• RQ4 能否构建一个算法，以多项式时间确定奇数域上图的局部等价性？
• RQ5 与仅限于二元域的现有方法相比，所提出的方法在效率和正确性方面表现如何？

主要发现

• 本文提出了首个已知的、用于检测奇数有限域上图局部等价性的高效算法。
• 广义局部补全运算通过域算术将二元局部补全推广至任意奇数域。
• 该算法依赖于由域结构导出的代数不变量，避免了暴力搜索。
• 在假设 q 为奇数的前提下，该方法被证明正确且高效，确保了域的性质（如可逆性）得以保持。
• 该方法在量子码设计和图论编码理论等应用中，实现了局部等价性的实用验证。
• 研究结果将先前局限于二元域的工作推广至更广泛的情形，显著扩展了适用图等价性检测的范围。