[论文解读] An Efficient Algorithm to Sample Quantum Low-Density Parity-Check Codes

Paolo Santini|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

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一句话总结

论文提出一种纯组合算法，通过使用信息集解码（ISD）逐行构建自正交二进制 LDPC 校验矩阵来对量子 LDPC 码进行采样，拓展到非二进制域和一般稳定子码。

ABSTRACT

In this paper, we present an efficient algorithm to sample random sparse matrices to be used as check matrices for quantum Low-Density Parity-Check (LDPC) codes. To ease the treatment, we mainly describe our algorithm as a technique to sample a dual-containing binary LDPC code, hence, a sparse matrix $\mathbf H\in\mathbb F_2^{r imes n}$ such that $\mathbf H\mathbf H^ op = \mathbf 0$. However, as we show, the algorithm can be easily generalized to sample dual-containing LDPC codes over non binary finite fields as well as more general quantum stabilizer LDPC codes. While several constructions already exist, all of them are somewhat algebraic as they impose some specific property (e.g., the matrix being quasi-cyclic). Instead, our algorithm is purely combinatorial as we do not require anything apart from the rows of $\mathbf H$ being sparse enough. In this sense, we can think of our algorithm as a way to sample sparse, self-orthogonal matrices that are as random as possible. Our algorithm is conceptually very simple and, as a key ingredient, uses Information Set Decoding (ISD) to sample the rows of $\mathbf H$, one at a time. The use of ISD is fundamental as, without it, efficient sampling would not be feasible. We give a theoretical characterization of our algorithm, determining which ranges of parameters can be sampled as well as the expected computational complexity. Numerical simulations and benchmarks confirm the feasibility and efficiency of our approach.

研究动机与目标

• 为动机并解决随机经典 LDPC 码生成与量子 LDPC 码构造之间的差距。
• 提出一种可行的算法，用于对量子码采样对含自正交（双包含）稀疏二进制 LDPC 矩阵。
• 理论分析采样范围与期望复杂度，并给出数值验证。
• 讨论对非二进制域的扩展以及对更广泛稳定子码族的扩展。

提出的方法

• 迭代地从已选择行的对偶空间中采样行 h1, ..., hu，以确保 HH^T=0（自正交）。
• 在每一步，形成当前校验矩阵的码 Cu，并搜索固定权重 v 的新稀疏码字 hu，使用信息集解码（ISD）。
• 使用 ISD 高效地在 Cu 中找到低权重码字，确保新行稀疏且与前面的行正交。
• 假设行权重 v 的均匀性以及固定比率 R，推导在高概率下存在低权重码字的条件（GV 风格的距离分析）。
• 给出一个概念验证的 SageMath 实现并讨论在多项式时间或亚指数时间采样可行的参数区间。
• 描述对非二进制域的自正交码采样以及对更广泛量子稳定子码（包括 CSS 与非 CSS 结构）的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在满足辛 symplectic 乘积（自正交）约束的同时有效地生成随机量子 LDPC 码？
• RQ2 哪些参数区间（行权重 v、长度 n、速率 R）能实现低权重、稀疏且对含双包含性的校验矩阵的成功采样？
• RQ3 采样过程如何扩展到非二进制域以及更一般的稳定子量子码？
• RQ4 所提出的基于 ISD 的采样方法的实际计算成本与理论保证是什么？

主要发现

• 基于 ISD 的采样过程能够构造自正交矩阵 H，使 HH^T=0，从而实现对含双包含性的量子 LDPC 码。
• 渐近分析识别在高概率下存在低权重码字的区间，为选择行权重 v 提供指引（大致为 v < ln(2)^(1−R) log2(n)）。
• 该方法在 v、R、n 的不同取值下可实现亚指数级到潜在多项式时间的采样，且通过 SageMath 的概念验证实现了实际运行时间。
• 通过实现的概念验证结果验证了可行性与效率，并展示了码字分布如何随稀疏度演化。
• 该方法可推广到 q-ary 域以及更广泛的稳定子码结构，扩大了对量子编码的适用性，超越仅限于 CSS 的范围。