[论文解读] An efficient linear programming method for Optimal Transportation

Adam M. Oberman, Yuanlong Ruan|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用 54

一句话总结

本文提出一种基于线性规划的方法，用于求解具有任意代价函数的最优传输问题，通过网格细化和重心投影实现线性时间与线性内存复杂度。该方法可实现对非凸区域、部分最优传输（partial OT）及重心问题的高精度、可扩展求解，并证明了弱收敛性，同时通过投影恢复高分辨率映射。

ABSTRACT

An efficient method for computing solutions to the Optimal Transportation (OT) problem with a wide class of cost functions is presented. The standard linear programming (LP) discretization of the continuous problem becomes intractible for moderate grid sizes. A grid refinement method results in a linear cost algorithm. Weak convergence of solutions is stablished. Barycentric projection of transference plans is used to improve the accuracy of solutions. The method is applied to more general problems, including partial optimal transportation, and barycenter problems. Computational examples validate the accuracy and efficiency of the method. Optimal maps between nonconvex domains, partial OT free boundaries, and high accuracy barycenters are presented.

研究动机与目标

• 开发一种适用于二次成本以外的最优传输问题的可扩展、高精度数值方法。
• 克服中等网格尺寸下标准线性规划离散化方法在计算上的不可行性。
• 通过重心投影，实现从传输计划中高精度恢复最优映射。
• 将该方法推广至广义问题，如部分最优传输（partial OT）与重心计算。
• 建立离散线性规划近似解对连续问题的弱收敛性。

提出的方法

• 该方法采用多尺度网格细化过程，实现解算时间与内存消耗的线性代价，避免密集线性规划求解。
• 将连续最优传输问题表述为在网格上的有限维线性规划问题，确保自然的离散化。
• 应用重心投影将传输计划转换为近似最优映射，显著提升精度。
• 通过利用标准线性规划求解器的稀疏性优化与层级细化策略，保持计算效率。
• 基于稳定性结果，通过离散解对连续问题的弱收敛性建立收敛性证明。
• 通过将问题重新表述为线性规划，该方法可推广至部分最优传输与重心问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性规划方法能否在一般代价函数下实现最优传输的线性复杂度？
• RQ2 重心投影如何提升从传输计划中导出的最优映射的精度？
• RQ3 离散线性规划近似解对连续最优传输问题的弱收敛行为如何？
• RQ4 该方法能否在非凸区域中准确计算部分最优传输的自由边界？
• RQ5 该方法在计算形状与直方图的高分辨率重心时表现如何？

主要发现

• 该方法实现线性时间与内存复杂度，在笔记本电脑上可在数分钟内求解包含最多 500,000 个变量的问题。
• 基于稳定性结果，建立了离散线性规划解对连续问题的弱收敛性。
• 重心投影可实现高精度最优映射恢复，即使在非凸区域与非二次代价下亦表现优异。
• 该方法可准确计算部分最优传输中的自由边界，揭示在重叠抛物线情形下，当过剩质量比较小时，自由边界覆盖整个交集区域。
• 在 1024² 网格上计算的重心显示清晰边界，无模糊现象，优于熵正则化方法。
• 该方法可生成三段环形区域的高分辨率重心，且随着代价指数 p 从 1.05 增加至 9，支撑集逐渐缩小。