[论文解读] An elementary proof of the Vigdergauz equations for a class of square symmetric structures

Dag Lukkassen, Annette Meidell+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文使用微积分基本定理，对更广泛的方形对称、周期性穿孔弹性结构类，给出了Vigdergauz方程的初等证明。结果表明，有效弹性模量 $K^*$, $G^*$, 和 $G^*_{45}$ 可分离为局部模量 $K$, $G$ 与仅依赖于周期胞几何形状的几何常数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 的初等函数形式，将先前仅适用于光滑单孔胞的结果推广至非光滑、多孔周期胞结构。

ABSTRACT

For a periodically perforated structure, for which homogenization takes place in the linear theory of elasticity, the components of the effective elasticity tensor depend in general on the geometry of the holes as well as on the local elastic properties. These dependencies were shown by Vigdergauz in [7] to be separated in an elementary way for one particular class of structures. The original proof of this relation made use of the lattice approach to describe periodic functions using complex variables. In this paper we present a proof of the so-called Vigdergauz equations for a related class of square symmetric structures. Our proof relies solely on the fundamental theorem of real variable calculus. The differences between the two mentioned classes of structures are nontrivial which makes our result a partial generalization as well.

研究动机与目标

• 将此前仅针对光滑单孔周期结构推导的Vigdergauz方程，推广至更广泛的方形对称、周期性穿孔弹性材料类。
• 提供一种仅依赖实变量微积分基本定理的证明，避免使用复分析或晶格方法。
• 建立有效弹性模量可分离为局部材料性质与几何常数的形式，适用于具有Lipschitz连续边界和横向线段的结构。
• 通过有效弹性张量的正定性，验证几何常数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 的非负性。
• 证明所推导的关系式在周期胞包含多个孔或缺乏光滑边界时依然成立，从而推广先前结果。

提出的方法

• 利用微积分基本定理，沿周期胞内的水平与垂直线对应力与应变分量进行积分，结合周期性与对称性。
• 假设胞内存在平行于坐标轴且避开孔洞的线段，从而实现对 $x$ 与 $y$ 方向的独立积分。
• 通过周期性与线弹性力学的Voigt记法，将平均应力与应变分量关联，建立局部与有效模量之间的联系。
• 通过对应变-位移关系进行积分并应用周期边界条件，作者推导出有效柔度矩阵分量的表达式。
• 几何常数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 作为应力导数在胞边界上的积分出现，直接与胞的几何形状相关。
• 通过证明在有效张量正定的假设下，有效柔度矩阵的特征值保持正值，从而确认 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 的非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用实变量微积分，而不依赖复分析或晶格理论，证明Vigdergauz方程？
• RQ2 当结构具有多个孔或非光滑边界时，有效弹性模量可分离为局部性质与几何常数的形式是否依然成立？
• RQ3 在方形对称结构中，几何常数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 如何依赖于周期胞的形状与孔洞配置？
• RQ4 在广义Vigdergauz方程中，确保几何常数非负性的条件是什么？
• RQ5 当不存在与 $\pi/4$ 角度相交且不穿过孔洞的直线时，该证明是否仍可适用，且方程形式保持不变？

主要发现

• 有效体积模量满足 $\frac{1}{K^*} = \frac{1}{K} + A_1\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$，其中 $A_1$ 仅依赖于周期胞的几何形状。
• 有效剪切模量满足 $\frac{1}{G^*} = \frac{1}{G} + A_2\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$，其中 $A_2$ 为由胞积分导出的几何常数。
• 有效横向剪切模量满足 $\frac{1}{G^*_{45}} = \frac{1}{G} + A_3\left(\frac{1}{K} + \frac{1}{G}\right)$，其中 $A_3$ 由胞的几何形状决定。
• 几何常数 $A_1$, $A_2$, $A_3$ 为非负值，其非负性由有效弹性张量的正定性及由此导出的柔度矩阵特征值正性所证实。
• 该方法通过放宽对光滑性与孔数的假设，推广了原始Vigdergauz结果，表明方程在Lipschitz连续边界与多孔结构下依然成立。
• 该方法避免使用复分析，仅依赖微积分基本定理与周期性，使推导过程更易理解且更具普适性。