[论文解读] An energy-based discontinuous Galerkin method for the wave equation with advection

Lu Zhang, Thomas Hagstrom+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种基于能量的不连续伽辽金（DG）方法，用于求解带有对流项的波方程，采用混合弱形式引入一个结合时间与空间导数的第二变量，以保持能量稳定性。该方法在结构化网格上使用迎风数值通量时，实现了L²范数下的最优收敛率，并且无需依赖网格的参数即可保证亚音速与超音速流的能源稳定性。

ABSTRACT

An energy-based discontinuous Galerkin method for the advective wave equation is proposed and analyzed. Energy-conserving or energy-dissipating methods follow from simple, mesh-independent choices of the inter-element fluxes, and both subsonic and supersonic advection is allowed. Error estimates in the energy norm are established, and numerical experiments on structured grids display optimal convergence in the $L^2$ norm for upwind fluxes. The method generalizes earlier work on energy-based discontinuous Galerkin methods for second order wave equations which was restricted to energy forms written as a simple sum of kinetic and potential energy.

研究动机与目标

• 开发一种稳定、高阶的DG方法，用于处理带有对流项的二阶波方程，该方程无法被先前基于能量的DG方法直接处理。
• 通过简单、与网格无关的界面通量选择（迎风或中心通量）确保能量稳定性，且仅引入状态变量及其时间导数，不增加额外变量。
• 将基于能量的DG格式推广至因对流项导致能量密度不可分离的问题，尤其适用于气动声学与流固耦合问题。
• 在能量范数下建立严格的误差估计，并在结构化网格上通过数值实验验证迎风通量下的最优收敛性。

提出的方法

• 引入混合变量 $ v = \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla u $，将二阶对流波方程重写为时间的一阶系统。
• 定义离散能量形式 $ E_j^h = \int_{\Omega_j} \frac{1}{2}(v^h)^2 + \frac{c^2}{2}|\nabla u^h|^2 $，确保与连续能量恒等式一致。
• 在单元界面使用数值通量的弱形式，保持离散能量平衡，其中迎风通量可确保所有流态下的能量稳定性。
• 在结构化三角形或四边形单元上，分别采用 $ q $ 次和 $ s $ 次多项式对 $ u^h $ 和 $ v^h $ 进行近似。
• 通过将弱形式与适当的测试函数进行测试，并利用迹不等式与逆估计控制各项，推导出能量与误差估计。
• 采用迎风通量处理亚音速与超音速流，其通量形式根据对流向量 $ \mathbf{w} $ 的方向而有所不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于能量的DG方法推广至对流波方程，其中能量密度包含时间与空间导数的混合项？
• RQ2 所提出的方法是否能在不引入依赖网格的稳定参数的前提下，保证亚音速与超音速对流下的能量稳定性？
• RQ3 在结构化网格上，迎风与中心通量的L²范数收敛率如何？是否达到最优？
• RQ4 在一维与二维问题中，不同边界条件下，误差估计与收敛行为如何比较？
• RQ5 该方法能否推广至更一般的正则双曲系统，如线性化气动声学中的系统？

主要发现

• 当使用迎风通量时，主变量 $ u $ 在L²范数下实现了最优收敛率，收敛阶数与多项式阶数 $ q $ 一致，1D与2D的数值实验均已验证此结果。
• 对于中心通量，能量范数下的收敛率比最优值低一阶，与理论误差估计一致。
• 在一维情况下，迎风通量的最优收敛性已得到证明，数值结果表明 $ u $ 在L²范数下的收敛率接近 $ q+1 $。
• 在二维情况下，对于狄利克雷与辐射边界条件，$ u $ 与 $ v $ 的收敛率与周期性问题中的结果非常接近，当 $ q $ 为奇数时，$ u $ 的收敛率趋近于 $ q+1 $，$ v $ 的收敛率趋近于 $ q $。
• 通过简单、与网格无关的通量选择（迎风或中心）即可确保能量稳定性，无需依赖网格尺寸的罚参数。
• 该格式可统一处理亚音速与超音速流，迎风通量根据对流向量 $ \mathbf{w} $ 的方向自适应调整。