[论文解读] An Equivariant Brauer Group and Actions of Groups on C*-algebras

D. Crocker, Alex Kumjian+2 more|ArXiv.org|Dec 12, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文为作用在局部紧空间 T 上的第二可数局部紧群 G 引入了等变 Brauer 群 BrG(T)，用于分类谱为 T 的可分连续迹 C*-代数上 G-作用的 Morita 等价类。通过 Moore 上同调与层上同调，建立了 BrG(T) 在群上同调与整数上同调下的滤子结构，并证明当 G = R 时，每个稳定的连续迹 C*-代数均存在唯一（模外等价）的覆盖作用，显著推广了 Raeburn 和 Rosenberg 的早期结果。

ABSTRACT

Suppose that $(G,T)$ is a second countable locally compact transformation group given by a homomorphism $\ell:G o\Homeo(T)$, and that $A$ is a separable continuous-trace \cs-algebra with spectrum $T$. An action $α:G o\Aut(A)$ is said to cover $\ell$ if the induced action of $G$ on $T$ coincides with the original one. We prove that the set $\brgt$ of Morita equivalence classes of such systems forms a group with multiplication given by the balanced tensor product: $[A,α][B,β] = [A\Ttensor B,α ensorβ]$, and we refer to $\brgt$ as the Equivariant Brauer Group. We give a detailed analysis of the structure of $\brgt$ in terms of the Moore cohomology of the group $G$ and the integral cohomology of the space $T$. Using this, we can characterize the stable continuous-trace \cs-algebras with spectrum $T$ which admit actions covering $\ell$. In particular, we prove that if $G=\R$, then every stable continuous-trace \cs-algebra admits an (essentially unique) action covering~$\ell$, thereby substantially improving results of Raeburn and Rosenberg. Versions of this paper in *.dvi and *.ps form are available via World wide web servers at http://coos.dartmouth.edu/~dana/dana.html

研究动机与目标

• 定义并刻画等变 Brauer 群 BrG(T) 作为谱为 T 的连续迹 C*-代数上 G-作用的 Morita 等价类的群。
• 利用 Moore 上同调与层上同调群，建立 BrG(T) 的结构滤子。
• 确定覆盖谱 T 上给定作用的 G-作用的存在性与唯一性，特别是当 G = R 时。
• 通过谱序列滤子将 Dixmier-Douady 同构推广至等变情形。

提出的方法

• 将 BrG(T) 定义为谱为 T 的连续迹 C*-代数 A 上 G-作用 α 的 Morita 等价类 [A, α] 的群，其乘法运算基于 C0(T) 上的平衡张量积。
• 利用 Grothendieck 等变上同调 H2(T, G; S) 的谱序列分析 BrG(T) 的结构，通过低维上同调群对其进行滤子化。
• 对局部紧群使用 Moore 上同调，将 H2(G, C(T, T)) 与 H3(G, C(T, T)) 解释为通过单位泛胞和扭曲作用实现作用的障碍。
• 应用 Combes–Curto–Muhly–Williams 定理，证明交叉积诱导逆映射，在自由与正规作用情形下证明同构。
• 利用 Gysin 序列与层上同调，将 BrG(T) 与 N-正规系统情形下的 H2_G(T, S) 联系起来。
• 证明当 G = R 时，映射 F: BrG(T) → H3(T; Z) 是满射，通过证明谱序列中 d2 = 0 且 d3 = 0，从而推出作用的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，谱为 T 的稳定连续迹 C*-代数允许一个覆盖 T 上给定 G-作用的 G-作用？
• RQ2 如何利用 Moore 上同调与层上同调将等变 Brauer 群 BrG(T) 分解为上同调分量？
• RQ3 H2(G, C(T, T)) 与 H3(G, C(T, T)) 在分类连续迹 C*-代数上的作用中起何作用？
• RQ4 为何 G = R 的情形在确保此类作用的存在性与唯一性方面具有特殊性？
• RQ5 在局部紧设定下，等变 Brauer 群如何与 Grothendieck 的等变上同调 H2(T, G; S) 相关联？

主要发现

• 当 G = R 时，每个谱为 T 的稳定连续迹 C*-代数均存在一个覆盖 T 上给定作用的 G-作用，且该作用在外部等价意义下唯一。
• 等变 Brauer 群 BrG(T) 具有合成列 {0} ≤ B1 ≤ B2 ≤ B3 = BrG(T)，其中 B3/B2 同构于 H3(T; Z) 的子群，B2/B1 同构于 H1(G, H2(T; Z)) 的子群，而 B1 同构于 H2(G, C(T, T)) 的商。
• 用于计算 BrG(T) 的谱序列在 G = R 时满足 d2 = 0 且 d3 = 0，意味着映射 F: BrG(T) → H3(T; Z) 是满射。
• 在自由与正规 G-作用情形下，轨道映射诱导同构 p*: Br(T/G) → BrG(T)，表明 BrG(T) 同构于商空间的 Brauer 群。
• 当 G-作用平凡时，映射 F: BrG(T) → Br(T) 的核同构于 H2(G, C(T, T))，且当 G = R 时，该正合序列中所有群均为零，故 ker(F) 平凡。
• 当 G 在 T 上平凡作用时，群 H2(G, C(T, T)) 分类 C0(T, K) 上的作用，且当 G = Z 时，该群通过映射 η 同构于 H2(T; Z)。