[论文解读] An explicit P1 finite element scheme for Maxwell's equations with constant permittivity in a boundary neighborhood

Larisa Beilina, Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种针对边界层中常介电常数的麦克斯韦方程组的稳定显式P1有限元格式，采用标准线性单元和显式时间推进。在经典CFL条件及散度捕获稳定化下，证明了电场近似在自然范数下达到最优O(h)收敛率。

ABSTRACT

This paper is devoted to the complete convergence study of the finite-element approximation of Maxwell's equations in the case where the magnetic permeability is constant. Standard linear finite elements for the space discretization are combined with a well-known explicit finite-difference scheme for the time discretization. The analysis applies to the particular case where the dielectric permittivity has a constant value outside a sub-domain, whose closure does not intersect the boundary of the problem-definition domain. Optimal convergence results are established in natural norms under reasonable assumptions, provided a classical CFL condition holds. A numerical validation of the theoretical results is provided.

研究动机与目标

• 为应用于边界邻域内常介电常数麦克斯韦方程组的显式P1有限元方法建立完整的收敛性分析。
• 证明在特定材料条件下，标准连续P1有限元与显式时间格式结合可实现最优收敛。
• 通过在变分形式中引入无散条件，解决节点有限元产生的虚假解问题。
• 将收敛性分析推广至介电常数并非严格为1，但下界为正数的情形。
• 在介电常数函数正则性要求最低的条件下验证该格式的鲁棒性，包括内层区域ε < 1的情形。

提出的方法

• 采用非结构化网格上的标准连续P1有限元进行空间离散化，确保方法的简洁性与高效性。
• 采用显式中心差分格式进行时间离散化，实现无需每步求解线性系统的显式时间推进。
• 通过修改的变分形式实现稳定化，强制电场满足无散条件，从而抑制虚假模态。
• 采用集中质量矩阵以保持显式时间积分，提升计算效率。
• 对非多项式介电常数函数采用梯形积分法进行数值积分，在较弱正则性假设下保持稳定性。
• 为处理ε < 1的情形，对变分形式进行适应性修改，引入涉及ε_min的修正辅助问题，确保强椭性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当介电常数在边界附近为常数时，显式P1有限元格式能否在麦克斯韦方程组中实现最优收敛？
• RQ2 在时域麦克斯韦求解器中，如何有效抑制由节点有限元引起的虚假解？
• RQ3 当区域中ε < 1时，变分形式需要进行何种修改，以维持稳定性和收敛性？
• RQ4 在何种条件下，CFL条件对该显式P1格式仍为稳定性充分条件？
• RQ5 当介电常数非恒定但下界为正数时，收敛性分析可扩展到何种程度？

主要发现

• 在经典CFL条件下，若介电常数在边界邻域内为常数，则电场在L2范数下可实现最优O(h)收敛。
• 当介电常数在内部区域小于1时，只要ε_min > 2/3，方法仍保持稳定与收敛，确保辅助问题的强椭性。
• 通过修改的变分形式有效强制实现无散条件，无需使用H(curl)-符合元，即可消除虚假解。
• 收敛结果可推广至介电常数非恒定但下界为正数的情形，收敛速率取决于辅助问题解的正则性。
• 采用梯形积分法处理非光滑介电常数函数时，保持稳定性且不降低收敛阶。
• 该分析可直接推广至二维情形，无需本质修改，保持相同的定性收敛结果。