[论文解读] An exponential improvement for diagonal Ramsey

Marcelo Campos, Simon Griffiths+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2023

Limits and Structures in Graph Theory被引用 13

一句话总结

作者证明了对角 Ramsey 数的经典 Erdős–Szekeres 上界的指数级改进，通过一种新的 Book Algorithm 得到 R(k) ≤ (4−ε)^k，其中 ε>0。对于 ℓ ≤ k 的非对角 Ramsey 数 R(k,ℓ)，他们也取得指数级改进，即在固定 δ>0 的情形下有 R(k,ℓ) ≤ e^{−δℓ+o(k)}{k+ℓ ext{ inom}{ ext{}}ℓ}。

ABSTRACT

The Ramsey number $R(k)$ is the minimum $n \in \mathbb{N}$ such that every red-blue colouring of the edges of the complete graph $K_n$ on $n$ vertices contains a monochromatic copy of $K_k$. We prove that \[ R(k) \leqslant (4 - \varepsilon)^k \] for some constant $\varepsilon > 0$. This is the first exponential improvement over the upper bound of Erdős and Szekeres, proved in 1935.

研究动机与目标

• 通过推动超越 Erdős–Szekeres 上界来动机与界定 Ramsey 数。
• 发展一种构造大型单色书本的初等算法方法，在不出现大团的着色中实现
• 将非对角改进通过两阶段分析转化为更强的对角界限。

提出的方法

• 引入 Book Algorithm，使之维护具备规定边着色性质的不相交集合 X、Y、A、B。
• 使用三种操作：红步、大蓝步、密度提升步，在控制 X 与 Y 之间的红密度 p 的同时扩大红色书本(A, Y)。
• 定义带权的中心顶点策略和基于高度的步长安排，确保在各步中 p 不会过分下降。
• 证明关键引理（包括 Zigzag Lemma）以界定步数及其影响，确保算法产生大规模单色书本。
• 通过对角外界限 R(k,ℓ) 与 ℓ ≈ k/5 的应用推导 R(k) 的指数上界，随后推出对角结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们是否可以通过利用一种新的算法方法来构造大型单色书本，从而超越 Erdős–Szekeres 上界？
• RQ2 密度提升机制如何与红步互动，在控制红边密度的同时保持进展？
• RQ3 在 ℓ ≤ k 时可以达到哪些对角上界的指数改进，这些改进如何反馈到 R(k) 的界限？

主要发现

• 存在 ε>0，使得对所有足够大的 k 有 R(k) ≤ (4−ε)^k。
• 给出对角界限的两种具体证明，常数分别为 ε = 2^−10 和 ε = 2^−7，表明常数还可以进一步改进。
• 对非对角 Ramsey 数的指数改进：对所有 k,ℓ，若 ℓ ≤ k（δ>0），有 R(k,ℓ) ≤ e^{−δℓ+o(k)}{k+ℓ 兹ill?}ℓ}。
• 将该方法推广到 ℓ ≤ k/4 的情形，得出界限 R(k,ℓ) ≤ e^{−ℓ/50+o(k)}{k+ℓ兹ill?}ℓ}。