[论文解读] An extension of May's Theorem to three alternatives: axiomatizing Minimax voting

Wesley H. Holliday, Eric Pacuit|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 5

一句话总结

本文通过增加防止候选人分裂效应和强无-show悖论的公理，将梅氏定理扩展至三候选人选举，唯一地刻画了非刀锋边缘配置下的最小最大投票方法。它证明了任何满足这些公理的偏好投票制度，在所有三候选选举中若无由边缘情况引起的平局，则必须与最小最大方法一致。

ABSTRACT

May's Theorem [K. O. May, Econometrica 20 (1952) 680-684] characterizes majority voting on two alternatives as the unique preferential voting method satisfying several simple axioms. Here we show that by adding some desirable axioms to May's axioms, we can uniquely determine how to vote on three alternatives (setting aside tiebreaking). In particular, we add two axioms stating that the voting method should mitigate spoiler effects and avoid the so-called strong no show paradox. We prove a theorem stating that any preferential voting method satisfying our enlarged set of axioms, which includes some weak homogeneity and preservation axioms, must choose from among the Minimax winners in all three-alternative elections. When applied to more than three alternatives, our axioms also distinguish Minimax from other known voting methods that coincide with or refine Minimax for three alternatives.

研究动机与目标

• 将原本仅适用于两个备选项的梅氏定理扩展至三备选项选举，使用一组最小公理。
• 识别出满足理想公平性与抗性属性的三备选项唯一投票制度。
• 证明在非刀锋边缘的三候选人配置中，最小最大方法是唯一满足扩展公理的投票制度。
• 通过将公平性、中立性和响应性公理联系起来，为最小最大方法提供规范性依据。

提出的方法

• 作者在梅氏原始公理——匿名性、中立性和弱正响应性——的基础上，增加了两个新公理：对分裂效应的免疫性与对强无-show悖论的避免。
• 定义投票制度为将选民偏好配置映射到非空获胜备选项集合的函数。
• 证明过程采用配置的结构分析，并基于成对多数比较中的优势差进行案例划分。
• 确立了任何满足全部公理的制度，必须在所有非刀锋边缘的三备选项配置中产生与最小最大方法相同的选举行为。
• 分析考虑了配置限制与排列，以验证在选民与备选项重命名下结果的不变性。
• 关键技术步骤在于证明：若一制度满足公理，则其必须选择在成对比较中最大损失最小的候选人，这正是最小最大方法的定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一组最小公理将梅氏定理扩展至三备选项，同时保持公平性与抗操纵性？
• RQ2 最小最大方法是否是唯一满足扩展公理（包括对分裂效应的免疫性与对强无-show悖论的避免）的投票制度？
• RQ3 在三候选人配置中，这些公理如何相互作用？在何种条件下能确保结果的唯一性？
• RQ4 公理在多大程度上唯一确定了最小最大方法？在出现平局的刀锋边缘情况下会发生什么？

主要发现

• 在所有非刀锋边缘的三备选项配置中，最小最大方法是唯一满足扩展公理集（梅氏原始公理加上对分裂效应的免疫性与对强无-show悖论的避免）的投票制度。
• 该方法唯一选择在成对比较中最小化其最大多数损失的备选项。
• 公理确保：若某候选人在任何成对比较中表现极差，则其不可能成为胜者，这与最小最大准则一致。
• 证明表明，任何对最小最大方法的偏离都将违反至少一个公理，尤其是弱正响应性或对分裂效应的免疫性。
• 即使选民提交包含平局的排名，只要配置非刀锋边缘，该结果依然成立。
• 该刻画仅在平局可能以不一致方式被打破的罕见刀锋边缘情况下失效。