[论文解读] An Extension of Parikh's Theorem beyond Idempotence

Michael Luttenberger, Schlund, Maximilian|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Analytical Chemistry and Chromatography参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文通过证明上下文无关文法的交换歧义函数（按帕里克向量计数最左推导数）在广义幂等恒等式 $k = k+1$ 下是形式幂级数意义上的有理函数，将帕里克定理从幂等半环推广至更高阶情形。利用 $\omega$-连续半环上的牛顿法，作者证明该函数可表示为有限加权线性集之和，从而将帕里克原始结果（$k=1$ 时）推广至更高 $k$ 值。

ABSTRACT

The commutative ambiguity of a context-free grammar G assigns to each Parikh vector v the number of distinct leftmost derivations yielding a word with Parikh vector v. Based on the results on the generalization of Newton's method to omega-continuous semirings, we show how to approximate the commutative ambiguity by means of rational formal power series, and give a lower bound on the convergence speed of these approximations. From the latter result we deduce that the commutative ambiguity itself is rational modulo the generalized idempotence identity k=k+1 (for k some positive integer), and, subsequently, that it can be represented as a weighted sum of linear sets. This extends Parikh's well-known result that the commutative image of context-free languages is semilinear (k=1). Based on the well-known relationship between context-free grammars and algebraic systems over semirings, our results extend the work by Green et al. on the computation of the provenance of Datalog queries over commutative omega-continuous semirings.

研究动机与目标

• 将帕里克定理从幂等情形（$k=1$）推广至更高阶幂等恒等式（$k=k+1$）的上下文无关文法情形。
• 证明交换歧义函数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$（按帕里克向量计数最左推导数）在 $k=k+1$ 恒等式下为有理函数。
• 提供一种构造性方法，利用广义半环上的有理形式幂级数近似 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$。
• 通过牛顿迭代法，将 Datalog 程序溯源计算与半环上代数系统的结果推广至非幂等情形。

提出的方法

• 利用 $\omega$-连续半环上的广义牛顿法，近似由上下文无关文法导出的代数系统的最小解。
• 引入半环 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$，其中恒等式 $k = k+1$ 成立，从而实现歧义计数的有限表示。
• 推导 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ 中星操作的新恒等式（I1–I5），推广经典正则表达式恒等式。
• 利用恒等式（I3）–（I5）将星高度降低至一，将有理表达式转化为加权线性集之和。
• 应用恒等式 $kx = k\cdot\operatorname{\mathsf{supp}}(x)$ 将重复项合并为正则表达式的支撑集。
• 为集合 $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ 构造一个 Presburger 算术公式，实现其逻辑表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 帕里克定理关于上下文无关语言的半线性性质是否可超越幂等情形（$k=1$）推广至更高阶幂等恒等式？
• RQ2 交换歧义函数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ 是否在恒等式 $k = k+1$ 下为有理函数，对任意 $k \in \mathbb{N}$ 成立？
• RQ3 在非幂等情形下，$\omega$-连续半环上的代数系统最小解是否可有效近似？
• RQ4 在广义半环 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ 中，星操作受何种恒等式支配？
• RQ5 集合 $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ 是否可用 Presburger 算术表达？

主要发现

• 交换歧义函数 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ 在恒等式 $k = k+1$ 下为有理函数，推广了帕里克对 $k=1$ 的原始结果。
• 建立了牛顿迭代逼近 $\operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}$ 的收敛速度下界，确保逼近的有效性。
• 所有 $\mathbb{N}_k\langle\!\langle\mathbb{N}^\mathsf{A}\rangle\!\rangle$ 中的有理级数均可表示为有限加权线性集之和，推广了半线性结构。
• 恒等式（I1）–（I5）可将任意有理表达式转化为星高度至多为一的形式，从而实现有限表示。
• 集合 $\{{\boldsymbol{v}} \mid \operatorname{\mathsf{camb}}_{G,X}({\boldsymbol{v}}) = k\}$ 在 Presburger 算术中具有可定义表示，如引理 5.4 所示。
• 该构造提供了一种具体算法方法，可在非幂等情形下将歧义计数表示为加权线性集的并集。