[论文解读] An extension of the Whittaker function

Gauhar Rahman, Kottakkaran Sooppy Nisar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过扩展合流超几何函数 $\Phi_{p,v}$ 引入了Whittaker函数的推广形式，推导出积分表示、变换公式、Mellin变换及微分恒等式。主要贡献是得到了涉及 $F_{p,v}$ 的推广Whittaker函数的广义Mellin变换，当 $p=0$ 或 $v=0$ 时可退化为已知结果。该扩展通过引入参数 $p$ 和 $v$，利用修正的Beta函数与超几何函数，推广了经典Whittaker函数。

ABSTRACT

The Whittaker function and its diverse extensions have been actively investigated. Here we introduce an extension of the Whittaker function by using the known extended confluent hypergeometric function $Φ_{p,v}$ and investigate some of its formulas such as integral representations, a transformation formula, Mellin transform, and a differential formula. Some special cases of our results are also considered.

研究动机与目标

• 通过引入扩展合流超几何函数 $\Phi_{p,v}$ 推广经典Whittaker函数。
• 推导扩展Whittaker函数的积分表示、变换公式、Mellin变换与微分恒等式。
• 通过引入参数 $p$ 和 $v$，推广经典Whittaker函数的已知结果。
• 当 $p=0$ 或 $v=0$ 时，恢复经典Whittaker函数恒等式。

提出的方法

• 通过扩展合流超几何函数 $\Phi_{p,v}$ 定义扩展Whittaker函数，利用扩展Beta函数 $B_{p,v}$。
• 通过将扩展超几何函数代入合流超几何函数的已知积分形式，推导积分表示。
• 通过结合积分表示与Gamma函数性质及 $\Phi_{p,v}$ 的特性，计算Mellin变换。
• 利用 $\Phi_{p,v}$ 的已知微分规则，将其应用于扩展Whittaker函数，获得微分公式。
• 通过设定 $v=0$ 或 $p=0$ 分析特殊情况，恢复经典Whittaker函数恒等式。
• 理论推导依赖于Pochhammer符号、Gamma函数以及第二类修正Bessel函数的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用扩展合流超几何函数 $\Phi_{p,v}$ 推广Whittaker函数？
• RQ2 扩展Whittaker函数适用的积分表示、Mellin变换与微分公式是什么？
• RQ3 当 $p=0$ 或 $v=0$ 时，扩展结果如何退化为经典Whittaker函数恒等式？
• RQ4 扩展Whittaker函数的Mellin变换在何种条件下收敛？
• RQ5 在扩展框架下，有哪些新恒等式是经典情况下无法获得的？

主要发现

• 扩展Whittaker函数的Mellin变换为 $\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}F_{p,v}(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$。
• 扩展Whittaker函数的微分公式为 $\frac{d^n}{dz^n}\{e^{z/2}z^{-\rho-1/2}M_{p,v,\lambda,\rho}(z)\} = \frac{(\rho-\lambda+\frac{1}{2})_n}{(2\rho+1)_n}e^{z/2}z^{-\rho-n/2-1/2}M_{p,v,\lambda-n/2,\rho+n/2}(z)$。
• 当 $v=0$ 时，Mellin变换退化为 $\frac{z^{-r}\Gamma(r)B(\rho+r-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+r+\lambda+\frac{1}{2})}{B(\rho-\lambda+\frac{1}{2}, \rho+\lambda+\frac{1}{2})}M_{\lambda,\rho+r}(z)$。
• 当 $v=0$ 且 $p=0$ 时，Mellin变换退化为经典超几何形式：$\Gamma(\delta+\rho+\frac{1}{2})\mu^{\rho+\frac{1}{2}}(\alpha+\frac{\mu}{2})^{-\delta-\rho-\frac{1}{2}}{}_2F_1(\delta+\rho+\frac{1}{2}, \rho-\lambda+\frac{1}{2}; 2\rho+1; \frac{2\mu}{2\alpha+\mu})$。
• 当 $p=0$ 且 $v=0$ 时，扩展Whittaker函数退化为经典Whittaker函数，恢复文献中已知的恒等式。
• 扩展Whittaker函数的积分表示涉及修正Bessel函数 $K_{v+1/2}(p/(t(1-t)))$，将其与广义Beta型积分联系起来。