[论文解读] An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities

Marek Jarnicki, Peter Pflug|ArXiv.org|Sep 17, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了定义在具有极纯奇点的类似交叉域上的分次全纯函数的延拓定理。证明了此类函数可全纯延拓至全纯包，且奇点集被映射为相对闭的极纯集，当纤维奇点满足自然的极纯性条件时，延拓保持唯一性与极大性。

ABSTRACT

Let $D_j\subset\mathbb C^{n_j}$ be a pseudoconvex domain and let $A_j\subset D_j$ be a locally pluriregular set, $j=1,...,N$. Put $$ X:=\bigcup_{j=1}^N A_1 imes... imes A_{j-1} imes D_j imes A_{j+1} imes... imes A_N. $$ Let $M\subset X$ be relatively closed. For any $j\in\{1,...,N\}$ let $Σ_j$ be the set of all $(z',z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes(A_{j+1} imes... imes A_N)$ such that the fiber $M_{(z',\cdot,z'')}:=\{z_j\in\mathbb C^{n_j}: (z',z_j,z'')\in M\}$ is not pluripolar. Assume that $Σ_1,...,Σ_N$ are pluripolar. Put ${multline*} X':=\bigcup_{j=1}^N\{(z',z_j,z'')\in(A_1 imes... imes A_{j-1}) imes D_j imes(A_{j+1} imes... imes A_N): (z',z'') otinΣ_j\}$. Then there exists a relatively closed pluripolar subset $\widetilde M\subset\widetilde X$ of the `envelope of holomorphy' $\widetilde X$ of $X$ such that: $\bullet$ $\widetilde M\cap X'\subset M$, $\bullet$ every function $f$ separately meromorphic on $X\setminus M$ extends to a (uniquely determined) function $\widetilde f$ meromorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, $\bullet$ if $f$ is separately holomorphic on $X\setminus M$, then $\widetilde f$ is holomorphic on $\widetilde X\setminus\widetilde M$, and $\bullet$ $\widetilde M$ is singular with respect to the family of all functions $\widetilde f$. oindent In the case where N=2, $M=\varnothing$, the above result may be strengthened.

研究动机与目标

• 将定义在具有极纯奇点的交叉域上的分次全纯函数延拓至更大的定义域。
• 利用极纯奇点集刻画此类函数的全纯包。
• 将先前关于分次全纯函数的结果推广至全纯情形。
• 在所有此类函数的族中，建立延拓的唯一性与极大性。
• 提供奇点集在扩展定义域中保持极纯性的条件。

提出的方法

• 将 N 重交叉 $ X $ 定义为乘积的并集，其中某一因子在强拟凸域中变化，其余因子属于局部全纯正则集。
• 通过相对极值全纯次调和函数的下水平集定义全纯包 $ \widehat{X} $。
• 将扩展奇点集 $ \widehat{M} \subset \widehat{X} $ 构造为相对闭的极纯集。
• 将 $ X' $ 定义为纤维奇点非极纯的点的集合，以确保与延拓的一致性。
• 对 $ X' $ 中点的邻域应用 Rothstein 定理，实现全纯函数的局部延拓。
• 利用唯一性原理及重叠邻域间的解析延拓，将局部延拓粘合为 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上的全局全纯函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，定义在具有极纯奇点的交叉域上的分次全纯函数可实现全纯或全纯延拓？
• RQ2 对于分次全纯函数，全纯包构造下奇点集的行为如何？
• RQ3 极纯纤维在决定延拓的极大性与唯一性中起何种作用？
• RQ4 分次全纯函数的延拓结果能否推广至全纯情形？
• RQ5 全纯包中扩展奇点集 $ \widehat{M} $ 的结构如何？

主要发现

• 每个定义在 $ X \setminus M $ 上的分次全纯函数唯一地延拓为 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上的全纯函数，其中 $ \widehat{M} $ 是全纯包的相对闭极纯子集。
• 扩展函数 $ \widehat{f} $ 在 $ X' \setminus M $ 上与原函数 $ f $ 一致，确保在定义域正则部分的一致性。
• 若原函数为分次全纯，则扩展函数 $ \widehat{f} $ 在 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 上全纯，保持全纯性。
• 集合 $ \widehat{M} $ 对所有此类扩展 $ \widehat{f} $ 均为奇点，即若移除 $ \widehat{M} $ 将导致极大性丧失。
• 该延拓是极大化的，即 $ \widehat{X} \setminus \widehat{M} $ 是分次全纯函数 $ X \setminus M $ 的全纯包。
• 在特殊情形 $ N=2 $、$ M=\varnothing $ 时，结果得到加强，表明即使奇点集为空，延拓依然成立。