[论文解读] An improved return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces: PART I - the Haigh-Westergaard coordinates

Stanislav Sysala, Martin Čermák+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于次微分的返回映射格式，用于弹塑性力学中的非光滑屈服面，无论返回类型（如顶点或棱边）如何，均可实现统一且唯一定义的非线性方程系统。该方法确保了离散化本构算子的存在性、唯一性及半光滑性，并在使用Haigh-Westergaard坐标系进行土体类材料极限分析时，展现出改进的收敛性和鲁棒性。

ABSTRACT

The paper is devoted to the numerical solution of elastoplastic constitutive initial value problems. An improved form of the implicit return-mapping scheme for nonsmooth yield surfaces is proposed that systematically builds on a subdifferential formulation of the flow rule. The main advantage of this approach is that the treatment of singular points, such as apices or edges at which the flow direction is multivalued involves only a uniquely defined set of non-linear equations, similarly to smooth yield surfaces. This paper (PART I) is focused on isotropic models containing: $a)$ yield surfaces with one or two apices (singular points) laying on the hydrostatic axis; $b)$ plastic pseudo-potentials that are independent of the Lode angle; $c)$ nonlinear isotropic hardening (optionally). It is shown that for some models the improved integration scheme also enables to a priori decide about a type of the return and investigate existence, uniqueness and semismoothness of discretized constitutive operators in implicit form. Further, the semismooth Newton method is introduced to solve incremental boundary-value problems. The paper also contains numerical examples related to slope stability with available Matlab implementation.

研究动机与目标

• 解决经典返回映射格式在奇异点（如顶点、棱边）处出现的数值不稳定性和对多值塑性流动的临时处理方法。
• 基于次微分形式的塑性流动法则，建立一种系统化、数学上一致的非光滑屈服面框架。
• 实现在求解前即确定返回类型（如返回至顶点或棱边），而无需迭代猜测或引入辅助求解器。
• 确保隐式时间积分中离散化本构算子的存在性、唯一性及半光滑性。
• 为有限元分析中弹塑性问题的鲁棒实现提供基础，支持使用半光滑牛顿法。

提出的方法

• 通过塑性伪势的次微分形式表述塑性流动法则，替代经典方法中针对非光滑表面的梯度型规则。
• 采用Haigh-Westergaard坐标系表达应力状态与屈服面，特别关注在静水轴上存在奇点的各向同性模型。
• 构建一个适用于所有返回类型（顶点、棱边、光滑）的单一、唯一定义的非线性方程系统，消除依赖于情况的公式化形式。
• 引入半光滑牛顿法求解增量边值问题，利用离散化算子的半光滑性优势。
• 将该方法应用于具有非线性各向同性硬化特性的各向同性模型，包括Drucker-Prager模型与简化的Jirasek-Grassl模型。
• 通过边坡稳定性的数值算例验证方法，对比标准格式在收敛行为与解精度方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非光滑屈服面开发一种统一的返回映射格式，避免在奇异点处对不同情况的临时处理？
• RQ2 次微分形式是否能够实现从试算应力状态出发，无需迭代猜测即可预先确定返回类型（如返回至顶点）？
• RQ3 所提出的格式能否保证在隐式时间积分中，离散化本构算子的存在性、唯一性及半光滑性？
• RQ4 与经典返回映射方法相比，该改进格式在具有奇异屈服面的模型中，其收敛性与鲁棒性表现如何？
• RQ5 该方法能否在实际岩土工程问题（如边坡稳定性）中有效应用，且数值误差最小化？

主要发现

• 所提出的返回映射格式无论返回类型如何，均能导出单一且唯一定义的非线性方程系统，彻底消除了对特定情况公式化的依赖。
• 对于Drucker-Prager模型，改进格式在最细的P1网格上达到极限荷载因子4.124，相比标准格式具有更低的舍入误差与更少的牛顿迭代次数。
• 经校准以匹配Drucker-Prager模型的简化Jirasek-Grassl模型，在最细的Q2网格上得到极限荷载因子4.107，结果吻合良好且收敛迅速。
• 该格式可对某些模型实现返回类型的预先确定，显著减少了求解过程中对迭代试错的依赖。
• 由于离散化算子的半光滑性已通过理论分析确立，半光滑牛顿法能够可靠收敛。
• 该方法在实际计算中表现出高效的计算性能，尽管收敛性得到改善，但整体计算时间与标准格式相近，主要得益于牛顿迭代次数的减少以及在奇异点附近的鲁棒性提升。