[论文解读] An inequality for the trace of matrix products, using absolute values

Bernhard Baumgartner|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于矩阵绝对值的矩阵积新迹不等式，证明了 |Tr(A*B)| ≤ (Tr|A||B|)^{1/2} (Tr|A*||B*|)^{1/2}。该不等式为矩阵 Hölder 不等式提供了简洁且自包含的证明，并可推广至希尔伯特-施密特算子以及包含中间矩阵或不同指数的广义形式。

ABSTRACT

The absolute value of matrices is used in order to give inequalities for the trace of products. An application gives a very short proof of the tracial matrix Hoelder inequality

研究动机与目标

• 建立复矩阵的尖锐迹不等式，使用算子的绝对值。
• 利用该迹不等式，为矩阵 Hölder 不等式提供简短且自包含的证明。
• 将不等式推广至包含中间矩阵、不同指数以及无穷维希尔伯特-施密特算子的情形。
• 阐明 |A| 和 |A*| 在迹不等式中的作用，特别是当 A 为非正规矩阵时。
• 将新不等式与基于奇异值和酉不变范数的现有界进行比较。

提出的方法

• 将矩阵 A 的绝对值定义为 |A| = (A*A)^{1/2}，|A*| = (AA*)^{1/2}。
• 利用 A*A 和 AA* 的特征向量的正交基，将迹 Tr(A*B) 分解为矩阵元素的和。
• 对和式应用柯西-施瓦茨不等式，将涉及 |A||B| 和 |A*||B*| 的项分离开来。
• 利用 |A|、|A*|、|B| 和 |B*| 的谱分解，将迹表示为奇异值与内积的组合。
• 通过有限秩算子逼近并取极限，将不等式推广至希尔伯特-施密特算子。
• 通过插入中间矩阵 M 和 N，或在绝对值上引入不同指数 α 和 β，推广不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用绝对值 |A|、|A*|、|B| 和 |B*| 推导出 A*B 的迹不等式？
• RQ2 该不等式是否相比现有方法，为矩阵 Hölder 不等式提供了更简单的证明？
• RQ3 在所提出的迹不等式中，等号成立的条件是什么？
• RQ4 当 A 和 B 为非正规矩阵时，该不等式的行为如何？
• RQ5 该不等式能否推广至无穷维希尔伯特-施密特算子？

主要发现

• 对所有复 m×n 矩阵 A 和 B，不等式 |Tr(A*B)| ≤ (Tr|A||B|)^{1/2} (Tr|A*||B*|)^{1/2} 成立。
• 当 A 和 B 均为秩一矩阵时等号成立，通过一个 2×2 的例子验证。
• 该不等式为 p,q ≥ 1 且满足 1/p + 1/q = 1 的矩阵 Hölder 不等式提供了新的简洁证明。
• 当推广至包含中间矩阵 M 和 N 时，不等式仍保持最优，得到 |Tr(MA*NB)| ≤ (TrM|A|M*|B|)^{1/2} (TrN*|A*|N|B*|)^{1/2}。
• 对于希尔伯特-施密特算子，通过有限秩算子逼近并取极限，不等式可推广至无穷维。
• 该界严格优于标准估计 |Tr(A*B)| ≤ Tr|A*B|，通过一个反例表明新界为 1，而旧界为 √2。