[论文解读] An initial-boundary value problem of the general three-component nonlinear Schrodinger equation with a 4x4 Lax pair on a finite interval

Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文通过使用4×4 Lax对，将一般三组分非线性薛定谔方程在有限区间上的初值-边值问题形式化并求解，扩展了Fokas统一变换方法。解通过一个矩阵黎曼-希尔伯特问题表达，其中跳跃矩阵由谱函数显式构造，该方法给出了两种等价表示形式——一种基于特征函数的大k渐近展开，另一种基于Gelfand-Levitan-Marchenko方法——适用于狄利克雷和诺伊曼边界条件。

ABSTRACT

We investigate the initial-boundary value problem for the general three-component nonlinear Schrodinger (gtc-NLS) equation with a 4x4 Lax pair on a finite interval by extending the Fokas unified approach. The solutions of the gtc-NLS equation can be expressed in terms of the solutions of a 4x4 matrix Riemann-Hilbert (RH) problem formulated in the complex k-plane. Moreover, the relevant jump matrices of the RH problem can be explicitly found via the three spectral functions arising from the initial data, the Dirichlet-Neumann boundary data. The global relation is also established to deduce two distinct but equivalent types of representations (i.e., one by using the large k of asymptotics of the eigenfunctions and another one in terms of the Gelfand-Levitan-Marchenko (GLM) method) for the Dirichlet and Neumann boundary value problems. Moreover, the relevant formulae for boundary value problems on the finite interval can reduce to ones on the half-line as the length of the interval approaches to infinity. Finally, we also give the linearizable boundary conditions for the GLM representation.

研究动机与目标

• 将Fokas统一变换方法扩展至有限区间上的一般三组分非线性薛定谔方程（gtc-NLS）的初值-边值问题。
• 利用4×4 Lax对，为gtc-NLS方程的解建立一个矩阵黎曼-希尔伯特问题公式化。
• 建立连接初始数据与边界值的全局关系，从而实现两种等价解表示形式的构造。
• 分析在区间长度趋于无穷时，有限区间问题向半直线情形的约化。
• 识别Gelfand-Levitan-Marchenko表示形式下的可线性化边界条件。

提出的方法

• 采用Fokas统一方法，利用4×4 Lax对分析gtc-NLS方程的初值-边值问题。
• 在复k平面上构造一个4×4矩阵黎曼-希尔伯特问题，其中gtc-NLS方程的解以该问题的解来表达。
• 通过从初始数据和狄利克雷-诺伊曼边界数据导出的三个谱函数，显式确定黎曼-希尔伯特问题的跳跃矩阵。
• 推导出解的两种等价表示形式：一种基于特征函数的大k渐近性质，另一种基于Gelfand-Levitan-Marchenko积分方程方法。
• 利用全局关系关联初始数据与边界数据，从而在有限区间上实现一致的解构造。
• 证明当区间长度趋于无穷时，有限区间的解公式退化为已知的半直线结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Fokas统一变换方法扩展至有限区间上的一般三组分非线性薛定谔方程的初值-边值问题？
• RQ2 采用4×4 Lax对时，gtc-NLS方程的黎曼-希尔伯特问题具有怎样的结构？
• RQ3 黎曼-希尔伯特问题中的跳跃矩阵如何从初始数据和边界数据确定？
• RQ4 解的两种等价表示形式是什么，它们如何通过全局关系相互关联？
• RQ5 在何种条件下，有限区间的解公式退化为半直线情形？

主要发现

• 有限区间上gtc-NLS方程的解可表示为复k平面上一个4×4矩阵黎曼-希尔伯特问题的解。
• 黎曼-希尔伯特问题的跳跃矩阵由从初始数据和狄利克雷-诺伊曼边界值导出的三个谱函数显式构造。
• 推导出解的两种等价表示形式：一种基于特征函数的大k渐近展开，另一种基于Gelfand-Levitan-Marchenko方法。
• 全局关系使得初始数据与边界数据得以一致耦合，确保了问题的适定性。
• 当区间长度趋于无穷时，有限区间的解公式退化为已知的半直线结果。
• 识别出Gelfand-Levitan-Marchenko表示形式下的可线性化边界条件，从而在特定边界约束下实现了显式解的构造。