[论文解读] An intersection number formula for CM-cycles in Lubin-Tate spaces

Qirui Li|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文在所有层次上，通过无限层次的表述，为非阿赋马德尼安局部域上所有可分二次扩张 K₁、K₂ 的 CM 循环建立了显式的算术交点数公式，该公式统一适用于所有情况，使积分比较成为可能，从而将线性算术基本引理转化为精确的积分恒等式。

ABSTRACT

We give an explicit formula for the arithmetic intersection number of CM cycles on Lubin-Tate spaces for all levels. We prove our formula by formulating the intersection number on the infinite level. Our CM cycles are constructed by choosing two separable quadratic extensions K1, K2/F of non-Archimedean local fields F . Our formula works for all cases, K1 and K2 can be either the same or different, ramify or unramified. As applications, this formula translate the linear Arithmetic Fundamental Lemma (linear AFL) into a comparison of integrals. This formula can also be used to recover Gross and Keating’s result on lifting endomorphism of formal modules.

研究动机与目标

• 推导出 Lubin-Tate 空间中所有层次的 CM 循环的统一算术交点数公式。
• 处理非阿赋马德尼安局部域上所有可分二次扩张 K₁、K₂ 的配置，包括相同、不同、分歧与非分歧情形。
• 在无限层次上表述交点数，以实现一般性证明。
• 将公式应用于将线性算术基本引理转化为积分比较。
• 作为公式的推论，恢复 Gross 和 Keating 关于形式模形式自同态提升的结果。

提出的方法

• 在 Lubin-Tate 空间的无限层次极限中表述算术交点数，以简化全局结构。
• 利用非阿赋马德尼安局部域 F 上的可分二次扩张对 K₁、K₂ 的一对，构造 CM 循环。
• 使用 p 进统一化和形变理论分析无限层次上 CM 循环的几何结构。
• 应用算术交点理论，通过每个素点的局部贡献计算交点数。
• 在交点数与测试函数上的积分之间建立比较，将其与线性 AFL 联系起来。
• 利用公式的统一性，推导出自同态提升的结果，从而恢复先前的定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有层次上，包括分歧与非分歧情形，Lubin-Tate 空间中 CM 循环的算术交点数是什么？
• RQ2 如何利用此交点公式将线性算术基本引理重新表述为测试函数上的积分比较？
• RQ3 该交点数公式能否用于恢复关于形式模形式自同态提升的已知结果？
• RQ4 无限层次极限在简化交点数计算中起到什么作用？
• RQ5 当 K₁ 与 K₂ 相同或不同时，或具有不同分歧类型时，该公式的行为如何？

主要发现

• 本文为所有层次和所有 K₁、K₂ 配置提供了 Lubin-Tate 空间中 CM 循环算术交点数的统一显式公式。
• 该公式可精确地将线性算术基本引理转化为测试函数上的积分比较。
• 无限层次的表述使得通过极限论证和与形变理论的相容性，推导有限层次的交点数成为可能。
• 该公式作为特例恢复了 Gross 和 Keating 关于形式模形式自同态提升的结果。
• 无论二次扩张是分歧还是非分歧，或是否相同或不同，该方法均保持统一适用。
• 交点数通过局部贡献计算，全局公式由其算术组合得出。