[论文解读] An Introduction To Small Divisors

Stefano Marmi|ArXiv.org|Sep 27, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文全面介紹了动力系统中的小分母问题，重点讨论了一元复变量解析微分同胚的线性化问题，以及丢番图条件在收敛性中的作用。文章建立了约克（Yoccoz）定理：在布雷达（Brjuno）条件下，二次多项式线性化收敛。通过布雷达函数和连分数，将数论与复动力系统联系起来。

ABSTRACT

This is an introduction to small divisors problems. The material treated in this book was brought together for a PhD course I tought at the University of Pisa in the spring of 1999. Here is a Table of Contents: Part I One Dimensional Small Divisors. Yoccoz's Theorems 1. Germs of Analytic Diffeomorphisms. Linearization 2. Topological Stability vs. Analytic Linearizability 3. The Quadratic Polynomial: Yoccoz's Proof of the Siegel Theorem 4. Douady-Ghys' Theorem. Continued Fractions and the Brjuno Function 5. Siegel-Brjuno Theorem, Yoccoz's Theorem. Some Open Problems 6. Small Divisors and Loss of Differentiability Part II Implicit Function Theorems and KAM Theory 7. Hamiltonian Systems and Integrable Systems 8. Quasi-Integrable Hamiltonian Systems 9. Nash-Moser's Implicit Function Theorem 10. From Nash-Moser's Theorem to KAM: Normal Form of Vector Fields on the Torus Appendices A1. Uniformization, Distorsion and Quasi-conformal maps A2. Continued Fractions A3. Distributions, Hyperfunctions. Hypoellipticity and Diophantine Conditions

研究动机与目标

• 为一维复动力系统中的小分母问题提供基础理解。
• 探讨在何种条件下，不动点处解析微分同胚的芽可进行解析线性化。
• 将旋转数的数论性质（丢番图、布雷达）与线性化级数的收敛性联系起来。
• 介绍纳什–莫泽隐函数定理及其在拟可积哈密顿系统KAM理论中的作用。
• 通过练习和参考文献，激发对庞加莱、西格尔、柯尔莫哥洛夫、阿诺德、莫泽、埃尔曼和约克原始著作的研究兴趣。

提出的方法

• 分析复平面上解析微分同胚的芽，重点关注满足 $ f'(0) = \lambda \neq 0 $ 的全纯芽群 $ G_{\lambda} $。
• 通过 $ G_1 $-作用的共轭，研究芽的等价类与中心化子。
• 应用连分数与布雷达函数，刻画线性化级数的收敛性。
• 引入圆周上的超函数与分布的概念，以表示线性差分方程的解。
• 建立向量场 $ \partial_{\theta_1} + \alpha \partial_{\theta_2} $ 的拟椭圆性与 $ \alpha $ 的丢番图条件之间的联系。
• 在弗雷chet空间中应用纳什–莫泽定理，以处理非线性问题中正则性损失的问题，特别是在KAM理论中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不动点处解析微分同胚的芽可进行解析线性化？
• RQ2 旋转数的丢番图条件与布雷达条件如何影响线性化级数的收敛性？
• RQ3 连分数与布雷达函数在决定线性可化性中起什么作用？
• RQ4 在弗雷chet空间中，反函数定理的失效如何导致纳什–莫泽定理的必要性？
• RQ5 线性化共轭方程的解为何种意义下的超函数或分布？这对共轭映射的正则性有何含义？

主要发现

• 约克定理表明：若 $ f \in G_\lambda $ 且 $ \lambda $ 不是单位根，则 $ f $ 可解析线性化当且仅当旋转数 $ \alpha $ 满足布雷达条件。
• 布雷达条件等价于级数 $ \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_n}{q_n} $ 的收敛性，其中 $ q_n $ 为 $ \alpha $ 的连分数渐近分数的分母。
• 差分方程 $ f_g(\theta + \alpha) - f_g(\theta) = g(\theta) $ 的基本解 $ f_\delta $ 是分布当且仅当 $ \alpha $ 是丢番图数。
• 基本解 $ f_\delta $ 是超函数当且仅当 $ \lim_{n \to \infty} \frac{\log q_{n+1}}{q_n} = 0 $，该条件严格弱于丢番图条件。
• 算子 $ \partial_{\theta_1} + \alpha \partial_{\theta_2} $ 是拟椭圆的当且仅当 $ \alpha $ 是丢番图数，从而将PDE的正则性与数论联系起来。
• 超函数空间 $ A'({\mathbb{T}}^1) $ 与在 $ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $ 上具有在无穷远处受控增长性及在 $ \pm i\infty $ 处反对称性的全纯函数空间 $ \mathcal{O}_\Sigma $ 之间存在自然同构。