[论文解读] An Optimal Product-State Approximation for 2-Local Quantum Hamiltonians with Positive Terms

Ojas Parekh, Kevin Thompson|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对量子最大割（QMC）问题的经典 1/2-近似算法，使用乘积态，并证明该算法在无条件意义下是最优的。通过从量子 Lasserre 层次的第二层推导出一种新型非线性纠缠单配性不等式，作者证明即使使用纠缠态也无法获得更优的近似，且将结果推广至一般的正 2-局部哈密顿量。

ABSTRACT

We resolve the approximability of the maximum energy of the Quantum Max Cut (QMC) problem using product states. A classical 0.498-approximation, using a basic semidefinite programming relaxation, is known for QMC, paralleling the celebrated 0.878-approximation for classical Max Cut. For Max Cut, improving the 0.878-approximation is Unique-Games-hard (UG-hard), and one might expect that improving the 0.498-approximation is UG-hard for QMC. In contrast, we give a classical 1/2-approximation for QMC that is unconditionally optimal, since simple examples exhibit a gap of 1/2 between the energies of an optimal product state and general quantum state. Our result relies on a new nonlinear monogamy of entanglement inequality on a triangle that is derived from the second level of the quantum Lasserre hierarchy. This inequality also applies to the quantum Heisenberg model, and our results generalize to instances of Max 2-Local Hamiltonian where each term is positive and has no 1-local parts. Finally, we give further evidence that product states are essential for approximations of 2-Local Hamiltonian.

研究动机与目标

• 解决使用乘积态对具有正项的 2-局部量子哈密顿量的最大能量的可近似性问题。
• 证明尽管存在基于半定规划的 0.498-近似，但针对量子最大割的 1/2-近似在无条件意义下是最优的。
• 从量子 Lasserre 层次的第二层推导出在三角形上的一种新型非线性纠缠单配性不等式。
• 将结果推广至所有正 2-局部哈密顿量实例，其中每一项均为正且不含 1-局部项。
• 提供证据表明，即使存在纠缠，乘积态在近似 2-局部哈密顿量中也是必不可少的。

提出的方法

• 通过分析量子 Lasserre 层次的第二层，推导出三角形上的非线性纠缠单配性不等式。
• 利用半定规划对偶性，证明若某条边的值低于 -√3/2，则其邻接边的值必为正。
• 构造一个 SDP 的显式对偶解，以证明边值下界为 -√3/2，从而确立关键不等式。
• 将推导出的不等式应用于证明：若某条边的值较高（v_ij > (1+√3)/3 ≈ 0.911），则其邻接边的值必较低（v_ik < 1/3）。
• 利用该不等式证明：任何乘积态都无法实现优于 1/2-近似的 QMC，且该界是紧的。
• 通过证明相同的单配性不等式适用于此类实例，将结果推广至所有正 2-局部哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于乘积态的 QMC 1/2-近似是否在无条件意义下是最优的？
• RQ2 能否从量子 Lasserre 层次的第二层推导出非线性纠缠单配性不等式？
• RQ3 1/2-近似界是否适用于所有正 2-局部哈密顿量，而不仅限于 QMC？
• RQ4 能否以能量近似角度量化乘积态与一般量子态之间的差距？
• RQ5 能否通过乘积态改进 QMC 的 0.498-近似？若不能，原因是什么？

主要发现

• 基于乘积态的 QMC 经典 1/2-近似算法在无条件意义下是最优的，因为存在实例使得最优乘积态能量恰好为任意量子态可实现最大能量的一半。
• 本文从量子 Lasserre 层次的第二层推导出一种新型非线性纠缠单配性不等式，这是证明最优性的核心。
• 该不等式表明：若三角形中某条边的值低于 -√3/2，则其邻接边的值必为正，该性质被用于证明 1/2-近似界。
• 1/2-近似界是紧的：存在明确实例，其中最优乘积态的能量恰好为最优纠缠态能量的一半。
• 该结果可推广至所有不含 1-局部项的正 2-局部哈密顿量，表明在此更广泛类别中 1/2-近似也是最优的。
• 本工作提供了强有力的证据表明，乘积态在近似 2-局部哈密顿量中是必不可少的，因为即使使用先进的 SDP 层次，也无法通过乘积态获得更优的近似。