[论文解读] An SPDE Model for Systemic Risk with Endogenous Contagion

Ben Hambly, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文提出了一种用于大型金融系统系统性风险的非线性随机偏微分方程（SPDE）模型，通过扩散过程的平均场相互作用（在零处吸收，表示违约）纳入内生传染机制。该模型通过带有狄利克雷边界条件的非线性SPDE捕捉违约聚集现象，并建立了一项新颖的热核估计，以证明平均场极限的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We propose a dynamic mean field model for `systemic risk' in large financial systems, which we derive from a system of interacting diffusions on the positive half-line with an absorbing boundary at the origin. These diffusions represent the distances-to-default of financial institutions and absorption at zero corresponds to default. As a way of modelling correlated exposures and herd behaviour, we consider a common source of noise and a form of mean-reversion in the drift. Moreover, we introduce an endogenous contagion mechanism whereby the default of one institution can cause a drop in the distances-to-default of the other institutions. In this way, we aim to capture key `system-wide' effects on risk. The resulting mean field limit is characterized uniquely by a nonlinear SPDE on the half-line with a Dirichlet boundary condition. The density of this SPDE gives the conditional law of a non-standard `conditional' McKean--Vlasov diffusion, for which we provide a novel upper Dirichlet heat kernel type estimate that is essential to the proofs. Depending on the realizations of the common noise and the rate of mean reversion, the SPDE can exhibit rapid accelerations in the loss of mass at the boundary. In other words, the contagion mechanism can give rise to periods of significant systemic default clustering.

研究动机与目标

• 通过纳入内生传染、共同冲击和羊群行为，对大型金融系统中的系统性风险进行建模。
• 开发一种动态平均场模型，以捕捉金融危机期间观察到的非线性反馈效应。
• 将具有吸收在零点（违约）的相互作用扩散大系统极限表征为非线性SPDE。
• 通过一项新颖的上界狄利克雷热核估计，为平均场极限建立严格的数学基础。
• 证明该模型可因内生传染机制而表现出快速、聚集性的违约事件。

提出的方法

• 将金融机构建模为正半线上代表违约距离的扩散过程，零点吸收表示违约。
• 引入共同噪声过程以建模系统性冲击，并引入均值回归漂移以捕捉羊群行为。
• 实施一种内生传染机制，其中某一机构的违约会导致其他机构违约距离的向下跳变。
• 推导出在半线上带有零点狄利克雷边界条件的非线性SPDE作为平均场极限。
• 使用尺度变换（Upsilon映射）分析首次 hitting 时间行为，并控制变换后过程的漂移。
• 为条件性麦科恩-弗拉索夫扩散过程建立一项新颖的上界狄利克雷热核估计，这对证明收敛性与唯一性至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有相互作用机构的大规模金融系统中正式建模内生传染？
• RQ2 具有吸收和内生违约传染的相互作用扩散系统之平均场极限是什么？
• RQ3 所得到的SPDE模型能否表现出系统性危机特征的快速、聚集性违约事件？
• RQ4 需要哪些数学工具才能严格证明平均场极限的存在性与唯一性？
• RQ5 共同噪声与均值回归如何与内生传染相互作用，从而产生系统性风险动态？

主要发现

• 具有吸收在零点的相互作用粒子系统之平均场极限被唯一表征为半线上带有零点狄利克雷边界条件的非线性SPDE。
• 在某些共同噪声与均值回归实现下，SPDE在边界处表现出质量的快速损失，表明存在系统性违约聚集。
• 为条件性麦科恩-弗拉索夫扩散过程推导出一项新颖的上界狄利克雷热核估计，这对证明收敛性与唯一性至关重要。
• 模型通过一种结构化机制捕捉内生传染，即某一违约会引发其他机构违约距离的下降。
• 通过大数定律论证与紧致性估计，建立了有限系统向平均场极限的收敛性。
• 模型表明，即使没有大规模外生冲击，系统性风险仍可由反馈机制内生产生。