[论文解读] Analysis and Design of Complex-Valued Linear Systems

Bin Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一套新颖的框架，用于分析和设计依赖于状态向量及其共轭的复数线性系统，通过双矩阵理论将系统转化为等价的实数和复数表示形式。主要贡献在于提出了一套全面的分析与设计工具——涵盖可控制性、稳定性、LQR及观测器设计——全部以双矩阵方程的形式表达，该形式推广并改进了针对常规系统和反线性系统的现有结果。

ABSTRACT

This paper studies a class of complex-valued linear systems whose state evolution dependents on both the state vector and its conjugate. The complex-valued linear system comes from linear dynamical quantum control theory and is also encountered when a normal linear system is controlled by feedback containing both the state vector and its conjugate that can provide more design freedom. By introducing the concept of bimatrix and its properties, the considered system is transformed into an equivalent real-representation system and a non-equivalent complex-lifting system, which are normal linear systems. Some analysis and design problems including solutions, controllability, observability, stability, eigenvalue assignment, stabilization, linear quadratic regulation (LQR), and state observer design are then investigated. Criterion, conditions, and algorithms are provided in terms of the coefficient bimatrices of the original system. The developed approaches are also utilized to investigate the so-called antilinear system which is a special case of the considered complex-valued linear system. The existing results on this system have been improved and some new results are established.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，用于分析显式依赖于状态及其共轭的复数线性系统，此类系统在量子控制和系统降维中自然出现。
• 通过引入双矩阵代数，将现有关于常规系统和反线性系统的成果扩展至可将复数系统转化为等价实数与复数表示形式的场景。
• 基于双矩阵公式，为基本控制问题（包括可控制性、可观测性、稳定性、特征值分配、LQR及观测器设计）提供明确的判据与算法。
• 通过建立基于双矩阵方程的新条件与算法，改进并推广先前关于反线性系统的成果。
• 通过证明2n维实数系统可等价表示为含共轭项的n维复数系统，实现实数系统中的维数约简。

提出的方法

• 引入双矩阵概念，定义为一对复矩阵，用于表示系统动力学及其共轭分量，从而实现代数运算。
• 利用向量化与克罗内克积技术，将原始复数系统转化为维数为2n的等价实数表示系统。
• 推导出一个维数为2n的非等价复数提升系统，保持系统的结构特性，并允许在标准复线性代数框架下进行分析。
• 通过将系统提升为实数与复数形式，建立李雅普诺夫双矩阵方程与双矩阵代数 Riccati 方程，分别作为稳定性分析与LQR设计的关键工具。
• 利用双矩阵系统的实数表示，通过在增广矩阵块上进行秩检验，定义可检测性与可观测性条件，从而支持观测器设计。
• 提出基于观测器的状态反馈分离原理，通过独立设计状态反馈与观测器增益双矩阵，利用实数表示下的稳定性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将依赖于状态及其共轭状态的复数线性系统转化为等价的实数与复数系统以供分析？
• RQ2 此类系统的可控制性、可观测性与稳定性所需的充要条件是什么？并以原始系统双矩阵系数的形式表达。
• RQ3 如何利用基于双矩阵的公式实现此类系统的特征值分配、LQR及状态观测器设计？
• RQ4 所提出的方法在何种程度上推广或改进了针对常规系统与反线性系统的现有成果？
• RQ5 该类系统中，观测器基状态反馈的分离原理是否适用？在何种条件下成立？

主要发现

• 通过双矩阵提升，将系统转化为维数为2n的等价实数表示系统，从而可应用标准实数线性系统分析方法。
• 可控制性与可观测性通过涉及双矩阵系数的增广矩阵的秩条件进行刻画，可检测性则通过实数表示系统定义。
• 稳定性通过李雅普诺夫双矩阵方程进行分析，该方程等价于一个耦合矩阵方程，为渐近稳定性的必要且充分条件。
• LQR问题通过双矩阵代数 Riccati 方程求解，该方程将标准代数 Riccati 方程推广至含共轭项的复数系统。
• 通过双矩阵观测器增益设计状态观测器，若实数表示系统可检测，则收敛性可保证，并建立了分离原理。
• 所提出的框架在退化情况下可还原为常规系统与反线性系统的现有结果，且通过提供更一般化且计算上更易处理的条件，实现进一步改进。