[论文解读] Analysis and Design of Strongly Stabilizing PID Controllers for Time-Delay Systems

Pieter Appeltans, Silviu‐Iulian Niculescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2020

Extremum Seeking Control Systems参考文献 26被引用 16

一句话总结

本文提出了时间延迟系统中PID控制器的强稳定性概念，确保对微小扰动（如反馈延迟或有限差分导数近似）具有鲁棒性。通过添加截止频率足够高的低通滤波器，并满足导数增益矩阵的代数约束，可设计出强稳定的PID控制器，文中还提供了在不确定性下优化控制器增益的计算方法。

ABSTRACT

This paper presents the analysis of the stability properties of PID controllers for dynamical systems with multiple state delays, focusing on the mathematical characterization of the potential sensitivity of stability with respect to infinitesimal parametric perturbations. These perturbations originate for instance from neglecting feedback delay, a finite difference approximation of the derivative action, or neglecting fast dynamics. The analysis of these potential sensitivity problems leads us to the introduction of a `robustified' notion of stability called \\emph{strong stability}, inspired by the corresponding notion for neutral functional differential equations. We prove that strong stability can be achieved by adding a low-pass filter with a sufficiently large cut-off frequency to the control loop, on the condition that the filter itself does not destabilize the nominal closed-loop system. Throughout the paper, the theoretical results are illustrated by examples that can be analyzed analytically, including, among others, a third-order unstable system where both proportional and derivative control action are necessary for achieving stability, while the regions in the gain parameter-space for stability and strong stability are not identical. Besides the analysis of strong stability, a computational procedure is provided for designing strongly stabilizing PID controllers. Computational case-studies illustrating this design procedure complete the presentation.

研究动机与目标

• 分析PID控制的时间延迟系统对微小建模误差（如被忽略的反馈延迟或导数近似）的敏感性。
• 引入并形式化强稳定性的概念，确保在任意小扰动下仍保持稳定，其灵感来源于中立型泛函微分方程。
• 建立通过低通滤波实现强稳定性的条件，且不破坏标称系统的稳定性。
• 开发一种计算算法，用于设计在参数不确定性及延迟下具有保证鲁棒性的强稳定PID控制器。
• 将鲁棒稳定性理论框架扩展至具有PID输出反馈的MIMO、LTI时间延迟系统。

提出的方法

• 引入一种新稳定性概念——强稳定性，要求在任意小扰动（包括控制器导数作用中的扰动）下保持不变。
• 推导导数增益矩阵 $K_d$ 的代数约束，以确保低通滤波能保持强稳定性。
• 采用谱绝对值最小化框架来计算控制器增益，利用文献[30]中的定理4.2进行显式梯度计算以实现优化。
• 修改设计流程以处理系统矩阵和延迟中的参数不确定性，使用伪谱绝对值作为最坏情况下的稳定性裕量。
• 将特征方程改写为矩阵行列式形式，以在不确定性下实现特征值的数值计算。
• 采用[29,30]中方法的改进版本，计算不确定性集上的谱绝对值和伪谱绝对值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PID控制器会因任意小的反馈延迟或导数的有限差分近似而失去稳定性？
• RQ2 能否通过低通滤波在时间延迟系统中实现强稳定性？导数增益需满足何种约束？
• RQ3 如何设计一种计算程序，系统性地找到在参数不确定性下确保强稳定的PID控制器增益？
• RQ4 延迟和系统矩阵中的建模不确定性对PID控制器稳定性区域有何影响？
• RQ5 所提出的强稳定性概念与现有概念（如w-稳定性或对扰动的鲁棒性）有何异同并如何扩展？

主要发现

• 通过添加截止频率足够高的低通滤波器，并满足导数增益矩阵的特定代数约束，可实现强稳定性。
• PID增益参数空间中的稳定区域与强稳定区域并不相同，如三阶不稳定系统示例所示。
• 所提出的设计算法通过在不确定性集上最小化伪谱绝对值，确保最坏情况下的稳定性裕量。
• 该方法允许显式计算谱绝对值相对于控制器增益的梯度，从而实现高效优化。
• 理论结果通过解析示例得到验证，包括一个三阶系统示例，其中比例和导数控制均对稳定性至关重要。
• 该算法的Matlab实现已公开发布，包含案例研究和示例的代码。