[论文解读] Analysis of continuous strict local martingales via h-transforms

Soumik Pal, Philip Protter|RePEc: Research Papers in Economics|Nov 7, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 5

一句话总结

本文提出了一套系统化的方法，通过h-变换和测度变换来生成并分析连续严格局部鞅，表明当两个测度不等价时，严格局部鞅自然出现。核心贡献是一个将非等价测度与严格局部鞅相联系的一般性框架，其应用涵盖扩散过程、大小加权抽样、非碰撞过程，以及通过凯尔文变换实现的多维共形推广。

ABSTRACT

We study strict local martingales via h-transforms, a method which first appeared in Delbaen-Schachermayer. We show that strict local martingales arise whenever there is a consistent family of change of measures where the two measures are not equivalent to one another. Several old and new strict local martingales are identified. We treat examples of diffusions with various boundary behavior, size-bias sampling of diffusion paths, and non-colliding diffusions. A multidimensional generalization to conformal strict local martingales is achieved through Kelvin transform. As curious examples of non-standard behavior, we show by various examples that strict local martingales do not behave uniformly when the function (x-K)^+ is applied to them. Implications to the recent literature on financial bubbles are discussed.

研究动机与目标

• 证明严格局部鞅本质上是通过h-变换从非等价概率测度中产生的。
• 统一并拓展现有在扩散过程、大小加权抽样和非碰撞过程中的严格局部鞅实例。
• 研究凸函数作用于严格局部鞅时的行为，特别是期望值如E[(Xt−K)+]的非单调性。
• 探讨利用凯尔文变换的多维推广，引入维度≥3下的共形严格局部鞅。
• 阐明严格局部鞅动力学对金融泡沫的影响，特别是看跌-看涨期权平价关系的失效以及期权价格的非单调性。

提出的方法

• 利用h-变换——即使用非负调和函数的经典的杜布型测度变换——从另一测度下的鞅生成新的严格局部鞅。
• 应用Girsanov定理将所得过程描述为时间改变的扩散过程或条件化过程，特别避免调和函数零点集。
• 采用Radon-Nikodým过程h_t = dP/dQ定义变换N_t = f_t / h_t，其中f为Q-鞅。
• 建立在P下N_t为严格局部鞅的条件，依据h_t是否几乎必然命中零点。
• 在维度≥3时应用凯尔文变换，将一维严格局部鞅推广为共形局部鞅。
• 分析凸函数对严格局部鞅的影响，特别是(X_t − K)+，表明E[(X_t − K)+]可能随时间t非单调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Q-鞅通过h-变换在P下转化为严格局部鞅？
• RQ2 当凸函数如(X_t − K)+作用于严格局部鞅时，其行为如何？为何其期望值可能不单调？
• RQ3 h-变换框架能否系统性地生成并分类具有不同边界行为的扩散过程中的严格局部鞅？
• RQ4 严格局部鞅的多维类比是什么？凯尔文变换如何用于构造共形严格局部鞅？
• RQ5 严格局部鞅动力学对金融泡沫有何影响，特别是在期权定价和看跌-看涨期权平价关系方面？

主要发现

• 当Radon-Nikodým过程h_t在Q下以正概率命中零点时，严格局部鞅恰好出现，且测度P与Q不等价。
• 对于非负Q-鞅f_t，若Q(τ_0 < ∞) > 0，其中τ_0 = inf{s: h_s = 0}，则P下过程N_t = f_t / h_t为严格局部鞅。
• 对于严格局部鞅X_t，其期望值E[(X_t − K)+]可能随时间t减少，与标准次鞅直觉相悖。
• 在风险中性价格过程为严格局部鞅的市场中，看涨期权价格E[(S_T − K)+]可能随到期日T增加而下降，表明短期期权具有战略优势。
• 通过凯尔文变换实现的多维推广在维度≥3时产生共形严格局部鞅，其中至少一个坐标过程为严格局部鞅。
• 本文表明，当基础资产价格为严格局部鞅时，看跌-看涨期权平价关系失效，且美式期权可能不存在最优行权策略，与金融泡沫模型一致。