[论文解读] Analysis of interior penalty discontinuous Galerkin methods for the Allen-Cahn equation and the mean curvature flow

Xiaobing Feng, Yukun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为Allen-Cahn方程及其尖锐界面极限——平均曲率流，提出并分析了两种全离散的内罚不连续伽辽金（IP-DG）方法。通过引入基于离散谱估计的精细化非标准误差分析技术，作者推导出仅关于反扰动参数 $\epsilon^{-1}$ 呈多项式依赖的精确误差界，而非指数依赖，从而实现零水平集对平均曲率流的收敛性。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes two fully discrete interior penalty discontinuous Galerkin (IP-DG) methods for the Allen-Cahn equation, which is a nonlinear singular perturbation of the heat equation and originally arises from phase transition of binary alloys in materials science, and its sharp interface limit (the mean curvature flow) as the perturbation parameter tends to zero. Both fully implicit and energy-splitting time-stepping schemes are proposed. The primary goal of the paper is to derive sharp error bounds which depend on the reciprocal of the perturbation parameter $ε$ (also called "interaction length") only in some lower polynomial order, instead of exponential order, for the proposed IP-DG methods. The derivation is based on a refinement of the nonstandard error analysis technique first introduced in [12]. The centerpiece of this new technique is to establish a spectrum estimate result in totally discontinuous DG finite element spaces with a help of a similar spectrum estimate result in the conforming finite element spaces which was established in [12]. As a nontrivial application of the sharp error estimates, they are used to establish convergence and the rates of convergence of the zero level sets of the fully discrete IP-DG solutions to the classical and generalized mean curvature flow. Numerical experiment results are also presented to gauge the theoretical results and the performance of the proposed fully discrete IP-DG methods.

研究动机与目标

• 为Allen-Cahn方程构造全离散的IP-DG格式，使其在奇异扰动参数下保持稳定性和精度。
• 推导出仅关于 $\epsilon^{-1}$ 呈多项式依赖的误差估计，避免因指数增长而破坏小 $\epsilon$ 条件下的收敛性分析。
• 建立离散解的零水平集在 $\epsilon \to 0$ 时对平均曲率流的收敛性及其收敛速率。
• 为使用DG离散化方法的扩散界面法在移动界面问题中提供理论基础。

提出的方法

• 提出两种全离散的IP-DG格式：一种全隐式格式，一种能量分裂时间积分格式，均采用内罚稳定化技术。
• 应用基于不连续伽辽金空间中离散谱估计的精细化非标准误差分析技术。
• 将源自[12]中连续有限元空间的谱估计结果适配至不连续伽辽金框架，以控制 $\epsilon^{-1}$ 的依赖关系。
• 利用离散能量衰减性质 $J^{h}_{\epsilon}(u_{h}^{\ell})$ 验证数值稳定性和一致性。
• 采用水平集追踪策略监测零水平集 $\Gamma_t^\epsilon$ 的演化，并与平均曲率流进行比较。
• 通过构造初始数据为 $\tanh(d_0(x)/\sqrt{2}\epsilon)$ 的数值实验，使结果与扩散界面轮廓相匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 IP-DG方法能否在Allen-Cahn方程中实现仅关于 $\epsilon^{-1}$ 呈多项式依赖的误差界，而非指数依赖？
• RQ2 当 $\epsilon \to 0$ 时，离散解的零水平集是否收敛至平均曲率流？
• RQ3 基于离散谱估计的所提误差分析技术，能否从连续有限元空间推广至不连续伽辽金有限元空间？
• RQ4 零水平集对平均曲率流的收敛速率是多少？其依赖关系如何随 $\epsilon$ 变化？
• RQ5 全隐式与能量分裂时间积分格式在保持能量衰减与精度方面有何比较优势？

主要发现

• 所提出的IP-DG方法在 $L^\infty(L^2)$ 和 $L^2(H^1)$ 范数下均达到最优 $h$-收敛率，线性单元下观测到的收敛阶数分别约为2和1。
• 数值结果证实离散能量 $J^{h}_{\epsilon}(u_{h}^{\ell})$ 随时间单调衰减，与理论预期一致。
• 随着 $\epsilon \to 0$，数值解的零水平集收敛至平均曲率流，时间快照显示较大 $\epsilon$ 时演化更快。
• 误差估计仅关于 $\epsilon^{-1}$ 呈多项式依赖，此为最优形式，支持界面运动的严格收敛性分析。
• 该方法成功捕捉了复杂界面动力学，包括曲率驱动运动下的演化曲线与曲面，即使在非凸区域亦然。
• 数值实验中的收敛速率与理论预测一致，验证了所推导误差界之精确性。