[论文解读] Analysis of Petri Net Models through Stochastic Differential Equations

Marco Beccuti, Enrico Bibbona+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Petri Nets in System Modeling参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于随机Petri网（SPNs）的跳跃-扩散随机微分方程（SDE）近似方法，以捕捉种群水平的完整分布行为，特别是在方差不可忽略或分布为多模态的情况下。通过将Kurtz的扩散近似扩展至通过跳跃机制处理边界反射，该方法在分析具有有界状态空间和中等种群规模的模型时，相较于基于常微分方程（ODE）的近似和离散事件模拟，提供了更高的准确性和更快的速度。

ABSTRACT

It is well known, mainly because of the work of Kurtz, that density dependent Markov chains can be approximated by sets of ordinary differential equations (ODEs) when their indexing parameter grows very large. This approximation cannot capture the stochastic nature of the process and, consequently, it can provide an erroneous view of the behavior of the Markov chain if the indexing parameter is not sufficiently high. Important phenomena that cannot be revealed include non-negligible variance and bi-modal population distributions. A less-known approximation proposed by Kurtz applies stochastic differential equations (SDEs) and provides information about the stochastic nature of the process. In this paper we apply and extend this diffusion approximation to study stochastic Petri nets. We identify a class of nets whose underlying stochastic process is a density dependent Markov chain whose indexing parameter is a multiplicative constant which identifies the population level expressed by the initial marking and we provide means to automatically construct the associated set of SDEs. Since the diffusion approximation of Kurtz considers the process only up to the time when it first exits an open interval, we extend the approximation by a machinery that mimics the behavior of the Markov chain at the boundary and allows thus to apply the approach to a wider set of problems. The resulting process is of the jump-diffusion type. We illustrate by examples that the jump-diffusion approximation which extends to bounded domains can be much more informative than that based on ODEs as it can provide accurate quantity distributions even when they are multi-modal and even for relatively small population levels. Moreover, we show that the method is faster than simulating the original Markov chain.

研究动机与目标

• 解决在种群规模较小时或分布为多模态时，SPNs中基于确定性ODE近似方法的局限性。
• 将Kurtz的扩散近似从仅适用于首次离开开区域的情形，扩展至处理现实SPN模型中反复访问边界的场景。
• 开发一种计算高效的离散事件模拟替代方法，同时保留方差和多模态等分布细节。
• 实现对具有有界状态空间和大规模种群动态的SPNs进行准确、快速且内存高效的分析。

提出的方法

• 识别一类其底层连续时间马氏链（CTMC）具有种群级索引参数的SPNs。
• 应用Kurtz的扩散近似，推导出描述种群水平随机演化的SDE系统。
• 通过引入模拟过程在触及状态空间边界后返回内部的边界模拟跳跃，扩展SDE近似。
• 使用离散事件模拟来处理边界跃迁，以在过程达到或停留在边界时保持准确性。
• 自动从SPN模型构建相关SDE系统，包括由转移率推导出的漂移和扩散系数。
• 实现一种混合模拟方法，结合SDE积分与边界处按需执行的离散事件步骤，以模拟跳跃-扩散行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将SPNs的扩散近似扩展至处理实际系统中常见的反复边界访问？
• RQ2 所提出的跳跃-扩散SDE近似是否在非高斯或多模态分布情况下，相较于基于ODE的近似提供更准确的分布信息？
• RQ3 基于SDE的方法在计算性能上与离散事件模拟相比如何，特别是在速度和内存使用方面？
• RQ4 在中等种群规模下，SDE方法在多大程度上能保持复杂概率分布（如多模态分布）的形状？

主要发现

• 跳跃-扩散SDE近似能准确再现复杂多模态概率分布（如SIR模型和客户端-服务器模型中的分布），即使在小种群规模下也与模拟结果高度吻合。
• 在初始感染个体为200人的SIR模型中，SDE方法在27秒内完成T=100时预期感染人数的计算，仅消耗1MB内存；而离散事件模拟则耗时600秒，使用162MB内存。
• 在客户端-服务器模型中，SDE方法实现了约13倍的加速，将计算时间从约13分钟缩短至约1分钟，同时完整保留了分布的模式。
• 在拥有200,000名个体的SIR模型中，SDE方法将内存使用从约162MB降至约1MB，执行时间从约600秒降至约28秒，展现出显著的可扩展性。
• SDE近似成功捕捉了客户端-服务器模型中Cwaiting位置分布的三个显著模式，与离散事件模拟中观察到的多模态形状完全一致。
• 在方差和分布形状至关重要的情况下，该方法优于基于ODE的近似，因为此时仅依赖均值无法有效传达多模态情形下的有意义信息。