[论文解读] Analysis of the L1 scheme for fractional wave equations with nonsmooth data

Binjie Li, Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文分析了在非光滑初值条件下时间分数阶波动方程的L1格式，推导出一种新的稳定性估计，并证明了标准L1格式在时间方向上的收敛阶为$ϴ(τ^{3-α})$。提出了一种改进的L1格式，其精度达到$ϴ(τ^2)$，并在均匀时间网格和有界$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$条件下，建立了两种格式在$L^2(\Omega)$-范数下的收敛性。数值实验验证了理论结果。

ABSTRACT

This paper analyzes the well-known L1 scheme for fractional wave equations with nonsmooth data. A new stability estimate is obtained, and the temporal accuracy $ \mathcal O(τ^{3-α}) $ is derived for the nonsmooth initial data. In addition, a modified L1 scheme is proposed, and stability and temporal accuracy $ \mathcal O(τ^2) $ are derived for this scheme with nonsmooth initial data. The convergence of the two schemes in the inhomogeneous case is also established. Finally, numerical experiments are performed to verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 解决在非光滑初值下对分数阶波动方程应用L1格式时，$L^2(\Omega)$-范数下缺乏收敛性分析的问题。
• 在解的正则性假设最弱的条件下，推导L1格式的改进时间精度。
• 提出并分析一种改进的L1格式，使其在非光滑初值下实现$ϴ(\tau^2)$的收敛阶。
• 在非齐次情形（$f \not\equiv 0$）下，建立两种格式的收敛性。
• 阐明比值$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$在决定时间精度中的关键作用。

提出的方法

• 为应用于非光滑初值分数阶波动方程的L1格式推导出一种新的稳定性估计。
• 分析中使用了Riemann-Liouville分数阶导数$Π_{0+}^{\alpha-1}$，并将其应用于方程$Π_{0+}^{\alpha-1}(u' - u_1)(t) - \Delta u(t) = f(t)$。
• 提出一种改进的L1格式，通过改进的求积规则来提升时间精度。
• 全离散格式结合了时间方向的L1或改进L1格式与空间方向的标准$P_1$-有限元方法。
• 在均匀时间网格和有界$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$的假设下推导误差估计，其中$h_{πνεα}μ}$为最小网格直径。
• 通过数值实验验证了在不同$α$值和网格尺寸下，两种格式的理论收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非光滑初值下，标准L1格式在$L^2(\Omega)$-范数下的时间收敛阶是多少？
• RQ2 改进的L1格式能否在非光滑初值下实现$ϴ(\tau^2)$的时间精度？
• RQ3 比值$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$如何影响L1格式的时间精度？
• RQ4 在非齐次情形（$f \not\equiv 0$）下，是否建立了L1和改进L1格式的收敛性？
• RQ5 非均匀时间网格或变系数对L1格式的误差估计有何影响？

主要发现

• 在均匀时间网格和有界$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$条件下，标准L1格式在非光滑初值下于$L^2(\Omega)$-范数中达到$ϴ(\tau^{3-\alpha})$的时间收敛阶。
• 推导出一种新的稳定性估计，这对于证明$ϴ(\tau^{3-\alpha})$的收敛速率至关重要。
• 改进的L1格式在非光滑初值下实现了$ϴ(\tau^2)$的时间精度，优于标准L1格式的$ϴ(\tau^{3-\alpha})$收敛阶。
• 在非齐次情形下，两种格式的收敛性均得以建立，误差界依赖于源项$f$的正则性。
• 数值实验验证了预测的收敛阶：标准L1格式在$α \leq 3/2$时为$ϴ(h^2)$，在$α > 3/2$时为$ϴ(h^{6/\alpha - 2})$；改进L1格式在所有$α \in (1,2)$下均为$ϴ(h^2)$。
• 实验表明，当$τ^\alpha / h_{πνεα}μ}^2$不一致有界时，两种格式的时间精度均下降，证实了理论要求。