[论文解读] Analysis of the Rigorous Coupled Wave Approach for s-Polarized Light in Gratings

Benjamin J. Civiletti, Akhlesh Lakhtakia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Optical Coatings and Gratings被引用 4

一句话总结

本文通过证明RCWA是一种伽辽金法，建立了二维光栅中s偏振光的严格耦合波方法（RCWA）的收敛性，从而可应用有限元法（FEM）技术。在非陷阱条件下，证明了关于保留的傅里叶模数（O(M⁻²)）和分层厚度（O(h¹/²)，尽管数值结果表明收敛速度更快）的收敛性，且给出了显式的连续性常数。

ABSTRACT

We study the convergence properties of the two-dimensional Rigorous Coupled Wave Approach (RCWA) for s-polarized monochromatic incident light. The RCWA is widely used to solve electromagnetic boundary-value problems where the relative permittivity varies periodically in one direction, i.e., scattering by a grating. This semi-analytical approach expands all the electromagnetic field phasors as well as the relative permittivity as Fourier series in the spatial variable along the direction of periodicity, and also replaces the relative permittivity with a stairstep approximation along the direction normal to the direction of periodicity. Thus, there is error due to Fourier truncation and also due to the approximation of grating permittivity. We prove that the RCWA is a Galerkin scheme, which allows us to employ techniques borrowed from the Finite Element Method to analyze the error. An essential tool is a Rellich identity that shows that certain continuous problems have unique solutions that depend continuously on the data with a continuity constant having explicit dependence on the relative permittivity. We prove that the RCWA converges with an increasing number of retained Fourier modes and with a finer approximation of the grating interfaces. Numerical results show that our convergence results for increasing the number of retained Fourier modes are seen in practice, while our estimates of convergence in slice thickness are pessimistic.

研究动机与目标

• 对二维严格耦合波方法（RCWA）在周期性光栅结构中s偏振光的收敛性进行严格分析。
• 建立RCWA为伽辽金法，从而可应用有限元法（FEM）技术进行误差分析。
• 为连续问题推导先验估计和雷利恒等式，以确保解的唯一性和对数据的连续依赖性。
• 证明RCWA在保留傅里叶模数和光栅界面阶梯近似分层厚度方面的收敛性。
• 通过与高度精细的FEM解进行比较，对理论收敛速率进行数值验证。

提出的方法

• 将电磁散射问题表述为包含非齐次亥姆霍兹方程和准周期边界条件的变分问题。
• 推导雷利恒等式和具有相对介电常数显式依赖关系的先验估计，以确保解的唯一性和对数据的连续依赖性。
• 通过使用傅里叶展开和分段常数介电常数近似，证明RCWA满足变分问题的弱形式，从而证明其为伽辽金方法。
• 应用基于FEM的收敛性分析工具，建立关于保留傅里叶模数（M）和分层厚度（h）的收敛速率。
• 使用NGSolve中通过自适应网格划分、完美匹配层（PML）和后验误差估计计算出的高度精细FEM解作为数值验证的参考。
• 采用Zienkiewicz–Zhu误差估计算法和网格二分法，以实现FEM参考解的高精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着保留傅里叶模数的增加，RCWA方法是否收敛，收敛速率如何？
• RQ2 随着阶梯近似分层厚度的减小，RCWA解是否收敛，其理论收敛速率是多少？
• RQ3 能否将RCWA严格分析为伽辽金法，从而允许应用FEM收敛性分析工具？
• RQ4 先验估计中的连续性常数如何依赖于网格尺寸（分层厚度）和介电常数，特别是在非陷阱区域？
• RQ5 理论收敛速率是否与数值实验一致，特别是在非对称和对称光栅结构中？

主要发现

• RCWA被严格证明为伽辽金法，从而可应用基于FEM的收敛性分析技术。
• 关于保留傅里叶模数的理论收敛速率为O(M⁻²)，与对称和非对称光栅实例中观测到的数值收敛速率一致。
• 关于分层厚度的理论收敛速率为O(h¹/²)，但数值结果表明收敛更快：非对称光栅为O(h¹·⁵⁶)，对称光栅为O(h¹·⁷)。
• 在非陷阱条件下，先验估计中的连续性常数不随分层厚度h变化而发散，这对证明h方向的收敛性至关重要。
• 雷利恒等式和显式先验估计被推广并用于建立连续问题解的存在性和唯一性。
• 数值验证表明，RCWA解收敛于高度精细的FEM解，所有测试配置中的误差均在约10⁻⁴处饱和。