[论文解读] Analysis on Surreal Numbers

Simon Rubinstein‐Salzedo, Ashvin Swaminathan|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2013

Artificial Intelligence in Games参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过引入 surreal 数的新表示方法，将分析扩展至 surreal 数，以定义极限、导数和积分。该文建立了一个 surreal 序列极限的公式，使无限 Riemann 和与幂级数可通过外推法进行求值，并在新拓扑下证明了介值定理，表明若积分被一致定义，则微积分基本定理将成立。

ABSTRACT

The class $\mathbf{No}$ of surreal numbers, which John Conway discovered while studying combinatorial games, possesses a rich numerical structure and shares many arithmetic and algebraic properties with the real numbers. Some work has also been done to develop analysis on $\mathbf{No}$. In this paper, we extend this work with a treatment of functions, limits, derivatives, power series, and integrals. We propose surreal definitions of the arctangent and logarithm functions using truncations of Maclaurin series. Using a new representation of surreals, we present a formula for the limit of a sequence, and we use this formula to provide a complete characterization of convergent sequences and to evaluate certain series and infinite Riemann sums via extrapolation. A similar formula allows us to evaluates limits (and hence derivatives) of functions. By defining a new topology on $\mathbf{No}$, we obtain the Intermediate Value Theorem even though $\mathbf{No}$ is not Cauchy complete, and we prove that the Fundamental Theorem of Calculus would hold for surreals if a consistent definition of integration exists. Extending our study to defining other analytic functions, evaluating power series in generality, finding a consistent definition of integration, proving Stokes' Theorem to generalize surreal integration, and studying differential equations remains open.

研究动机与目标

• 开发一个在 surreal 数上进行分析的严格框架，扩展实分析中的极限、导数与积分等概念。
• 解决 surreal 函数中极限与导数缺乏一致定义的问题，该问题阻碍了 surreal 数上的微积分发展。
• 表征收敛的 surreal 序列，并通过从自然数部分和外推至序数的方法，评估无限级数与 Riemann 和。
• 定义 surreal 数上的一种新拓扑，恢复连通性，并在非柯西完备性下仍使介值定理成立。
• 确立在一致积分理论可用的前提下，微积分基本定理对 surreal 函数成立的条件。

提出的方法

• 提出 surreal 数的新表示方法，推导出 surreal 序列极限的公式，从而实现对收敛性的分析。
• 利用该极限公式，通过从自然数上的部分和外推至序数，求解特定的无限级数与 Riemann 和。
• 应用相同的极限公式，定义 surreal 函数的导数，将微分学扩展至 surreal 域。
• 引入 surreal 数上的一种新拓扑，使空间连通，克服标准拓扑下完全不连通的问题。
• 证明在该新拓扑下，即使 surreal 数非柯西完备，连续函数的介值定理依然成立。
• 表明若建立满足特定性质的一致积分定义，则微积分基本定理对 surreal 数成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏标准 ε-δ 框架的前提下，如何一致地定义 surreal 函数的极限与导数？
• RQ2 能否通过从有限部分和外推的方法，在 surreal 数系统中对无限 Riemann 和与幂级数进行有意义的求值？
• RQ3 是否可能在 surreal 数上定义一种拓扑，以恢复连通性并使经典定理（如介值定理）成立？
• RQ4 在假设存在一致积分理论的前提下，微积分基本定理在何种条件下对 surreal 函数成立？
• RQ5 通过递归构造定义的遗传函数（genetic functions）是否具有唯一的原函数（至多相差一个常数），从而支持通过反微分实现积分？

主要发现

• 通过 surreal 数的新表示方法，推导出 surreal 序列极限的新公式，实现了对收敛序列的完整表征。
• 该极限公式允许通过从自然数外推至序数，对某些无限级数与 Riemann 和进行求值，正确地对 exp(x) 等函数进行积分。
• 定义了一种使空间连通的新 surreal 数拓扑，使介值定理在缺乏柯西完备性的情况下依然成立。
• 在新拓扑下，证明了某些连续函数的最值定理成立。
• 若建立满足所需性质的一致积分定义，则微积分基本定理对 surreal 数成立。
• 提出一个猜想：遗传函数具有唯一的原函数（至多相差一个常数），表明若该猜想成立，则通过反微分实现积分是可行的方法。