[论文解读] Analytic description and explicit parametrization of the equilibrium shapes of elastic rings and tubes under uniform hydrostatic pressure

Peter A. Djondjorov, Vassil M. Vassilev+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Mathematics and Applications参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了不可伸长弹性环和管在均匀静水压力下平衡形状的显式解析参数化，将形状确定问题简化为求解超越方程。主要贡献在于严格推导出：对于每个模态 $ n \geq 2 $，存在唯一的临界压力 $ \sigma_{cn} $，此时出现孤立接触点，这一结果修正了以往认为此类形状存在于压力区间内的假设。

ABSTRACT

The parametric equations of the plane curves determining the equilibrium shapes that a uniform inextensible elastic ring or tube could take subject to a uniform hydrostatic pressure are presented in an explicit analytic form. The determination of the equilibrium shape of such a structure corresponding to a given pressure is reduced to the solution of two transcendental equations. The shapes with points of contact and the corresponding (contact) pressures are determined by the solutions of three transcendental equations. The analytic results presented here confirm many of the previous numerical results on this subject but the results concerning the shapes with lines of contact reported up to now are revised.

研究动机与目标

• 为不可伸长弹性环和管在均匀静水压力下的平衡形状提供显式解析参数化。
• 解决先前数值研究中关于具有接触点形状的存在性与唯一性方面的不一致问题。
• 建立对于每个 $ n \geq 2 $，仅存在唯一临界压力 $ \sigma_{cn} $ 时发生孤立接触点，而非压力区间，这一结论。
• 推导自相交形状通过相似性定律转变为物理上合理的接触型形状的条件。
• 利用精确解析解验证并修正文献中先前提出的相似性定律。

提出的方法

• 通过曲率作为弧长函数的表达式，利用椭圆函数推导平衡形状的参数方程。
• 将形状确定问题简化为求解两个超越方程（42）和（43），以获得一般平衡构型。
• 通过求解三个超越方程（42）、（43）和（64）（当 $ n=2 $ 时）或（60）（当 $ n>2 $ 时），将方法扩展至具有孤立接触点的形状。
• 应用控制微分方程（23）的相似性性质，构建具有接触线的平衡形状。
• 利用雅可比椭圆函数表示曲率与倾角的显式解析解，推导出闭式参数方程（25）。
• 使用 Mathematica® 笔记本数值求解超越方程，计算 $ 2 \leq n \leq 15 $ 的临界压力 $ \sigma_{cn} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个模态 $ n \geq 2 $，是否存在唯一的临界压力 $ \sigma_{cn} $，使得弹性环的平衡形状仅出现孤立接触点？
• RQ2 该模型是否预测在压力高于 $ \sigma_{cn} $ 时出现自相交形状？若存在，这些形状是否具有物理意义？
• RQ3 能否利用相似性原理解析构造具有接触线的平衡形状？这些形状是否满足力与力矩平衡？
• RQ4 与先前研究中认为接触形状存在于压力区间而非单一数值的结论相比，本研究结果有何不同？
• RQ5 先前提出的相似性定律（公式（69））是否成立？是否需基于精确解析解进行修正？

主要发现

• 对于每个模态 $ n \geq 2 $，存在唯一的临界压力 $ \sigma_{cn} $，此时平衡形状仅具有孤立接触点，这与早期认为存在压力区间的假设相矛盾。
• 当压力满足 $ \sigma_{bn} < \sigma < \sigma_{cn} $ 时，$ n $ 模态屈曲形状为简单形状（不自相交），而当 $ \sigma > \sigma_{cn} $ 时，该形状总是出现自相交。
• 临界压力 $ \sigma_{cn} $ 是唯一使得具有孤立接触点的 $ n $ 重对称形状存在的压力值，该结论已通过数值方法在 $ 2 \leq n \leq 15 $ 范围内得到验证。
• 利用控制方程的相似性性质，构建了具有接触线的平衡形状，且这些形状满足总力与总力矩平衡（67）和（68）。
• 先前提出的相似性定律已被修正并更正，新形式见公式（69），其建立在精确解析解的基础之上。
• 参数方程（25）提供了所有平衡形状（包括具有接触点的形状）的显式解析描述，其以雅可比椭圆函数和超越参数表示。