[论文解读] Analytic problems for elliptic curves

Emmanuel Kowalski|ArXiv.org|Oct 10, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 28

一句话总结

本文研究椭圆曲线的解析数论问题，类比算术级数中的素数分布与孪生素数问题。引入了‘椭圆孪生’（elliptic twins）概念，研究了有限域上椭圆曲线的群结构分布，揭示了可能群类型出现的二分性特征，并通过筛法与迹公式技术，对具有复乘法的曲线获得了非平凡结果。

ABSTRACT

We consider some problems of analytic number theory for elliptic curves which can be considered as analogues of classical questions around the distribution of primes in arithmetic progressions to large moduli, and of the question of twin primes. This leads to some local results on the distribution of the group structures of elliptic curves defined over a prime finite field, exhibiting an interesting dichotomy for the occurence of the possible groups. (Note : This paper was initially written in 2000/01, but after a four year wait for a referee report, it is now withdrawn and deposited in the arXiv).

研究动机与目标

• 探索椭圆曲线的解析数论问题，类比经典素数分布问题。
• 研究有限域上椭圆曲线群结构的分布，特别关注完全分裂素数及其局部行为。
• 理解同构群结构（椭圆孪生）的出现及其频率，类比于孪生素数。
• 利用筛法技术，在二次域中对具有复乘法的椭圆曲线建立非平凡结果。
• 利用Deuring理论与模曲线，分析椭圆曲线分划域扩张中完全分裂素数的局部结构。

提出的方法

• 使用Chebotarev密度定理，以及椭圆曲线扭点生成的伽罗华扩张中Frobenius元素的等分布性。
• 在二次域中应用筛法研究具有复乘法的曲线，利用自同态环的算术性质。
• 利用Hecke算子与模形式的迹公式，分析有限域上群阶的分布。
• 利用迹公式与模曲线的性质，研究在给定素数p处存在完全分裂素数的椭圆曲线的存在性。
• 改编Deuring、Waterhouse与Schoof关于自同态环与奇异约化结果的研究，分析局部群结构分布。
• 通过数值实验验证理论预测，展示稀有群结构及群阶分布中高重数的频率。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线模素数p的约化群结构的分布如何？其在不同素数间如何变化？
• RQ2 同构群结构（椭圆孪生）的频率与经典孪生素数频率相比如何？
• RQ3 筛法在非CM椭圆曲线上多大程度上可应用于研究分划域中完全分裂素数的分布？
• RQ4 对于给定椭圆曲线E和d ≥ 1，哪些局部条件决定了素数p在域Q(E[d])中完全分裂？
• RQ5 与K(E[d])/K相关的Artin L函数的解析性质如何与群结构及素数分布相关？

主要发现

• 对于CM椭圆曲线，二次域中的筛法技术在Frobenius作用受控的素数上，对群结构分布获得了非平凡结果。
• 本文揭示了有限域上椭圆曲线可能群结构出现的二分性，某些群结构的出现频率远高于其他群。
• 数值数据显示，∑_{p≤X} |E_p(F_p)|/p 的和渐近于 1.775 × li(X)，表明与预期平均大小存在显著偏差。
• 函数M(n)（统计具有给定群阶n的椭圆曲线数量）在n = 12818000时达到高达24的值，表明存在稀有但显著的重数。
• 本文识别出所有满足M_E(n) = 5 或 M_F(n) = 5 且 n ≤ 10^8 的整数n，这些n均含有大量满足≡1 mod 4的素因子，暗示与平方和分解存在关联。
• 研究发现，群阶分布中高重数强烈关联于n被4整除且含有大量满足≡1 mod 4的素因子，与2-挠群结构及2-同源性质一致。