[论文解读] Analytical description of Recurrence Plots of white noise and chaotic processes

Marko Thiel, M. Carmen Romano+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Chaos control and synchronization被引用 7

一句话总结

本文对白噪声和混沌系统中的递归图（RPs）提供了分析性描述，将RPs中对角线的分布与关联熵联系起来，并在混沌流中识别出两个不同的标度区域——这与Grassberger-Procaccia算法不同。本文提出了基于RPs的动态特征（如关联维数、关联熵和互信息）的不变估计量，提供了一种计算成本更低、对噪声和范数选择不敏感的稳健替代方法。

ABSTRACT

We present an analytical description of the distribution of diagonal lines in Recurrence Plots (RPs) for white noise and chaotic systems, and find that the latter one is linked to the correlation entropy. Further we identify two scaling regions in the distribution of diagonals for oscillatory chaotic systems that are hinged to two prediction horizons and to the geometry of the attractor. These scaling regions cannot be observed with the Grassberger-Procaccia algorithm. Finally, we propose methods to estimate dynamical invariants from RPs.

研究动机与目标

• 对白噪声和混沌系统中递归图（RPs）中对角线分布进行分析性描述。
• 建立RPs中对角线分布与关联熵之间的联系，而非与李雅普诺夫指数的联系。
• 在混沌流的对角线分布中识别出两个不同的标度区域，其与吸引子几何结构和预测时域相关。
• 基于RPs提出新的、不变的动态不变量估计量——关联维数、关联熵和互信息。
• 证明RPs方法相较于Grassberger-Procaccia算法具有优势，特别是在计算效率和对噪声及范数选择的鲁棒性方面。

提出的方法

• 通过概率密度的卷积和独立点统计，对白噪声的对角线长度累积分布 $ P^{c}_{\nu}(l) $ 进行了分析推导。
• 表明对于白噪声，$ P^{c}_{\nu}(l) = P_b(\nu)^l $，其中 $ P_b(\nu) $ 为重复概率，并推导出均匀分布和高斯分布的显式表达式。
• 通过将 $ P^{c}_{\nu}(l) $ 与二阶Rényi熵及关联熵关联，将分析扩展至混沌系统，使用重复矩阵 $ \mathbf{R}_{i,j} = \Theta(\nu - |\vec{x}_i - \vec{x}_j|) $。
• 提出动态不变量的估计量：基于 $ P^{c}_{\nu}(l) $ 和重复矩阵统计，分别估计关联维数 $ \hat{D}_2(\nu) $、关联熵 $ \hat{K}_2 $ 和互信息 $ \hat{I}_2(\tau) $。
• 利用重复矩阵通过 $ \hat{H}_2 = -\ln\left( \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \mathbf{R}_{i,j} \right) $ 和 $ \hat{H}_2(\tau) = -\ln\left( \frac{1}{N^2} \sum_{i,j} \mathbf{R}_{i,j} \mathbf{R}_{i+\tau,j+\tau} \right) $ 估计联合熵与边缘熵。
• 将基于RPs的估计量与Grassberger-Procaccia算法的估计量进行比较，表明基于RPs的估计对范数选择不敏感，并在不同范数下保持一致结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 白噪声过程中，递归图（RPs）中对角线分布的分析行为如何？
• RQ2 在混沌系统中，RPs中对角线分布与关联熵之间存在何种分析关系？
• RQ3 为何混沌流中对角线长度的分布会出现两个不同的标度区域？其动力学或几何意义是什么？
• RQ4 基于RPs的动态不变量估计量与Grassberger-Procaccia算法相比，在鲁棒性和准确性方面表现如何？
• RQ5 能否利用递归图以不依赖于范数选择且对噪声具有鲁棒性的方式，估计关联维数、关联熵和互信息等不变量？

主要发现

• 对于白噪声，对角线长度的累积分布遵循 $ P^{c}_{\nu}(l) = P_b(\nu)^l $，其中 $ P_b(\nu) $ 已针对均匀分布和高斯分布进行解析推导。
• 在混沌系统中，分布 $ P^{c}_{\nu}(l) $ 与二阶Rényi熵（即关联熵）相关，而非如先前所建议的与李雅普诺夫指数相关。
• 在 $ P^{c}_{\nu}(l) $ 的对数图中出现两个不同的标度区域，分别对应于不同的预测时域和吸引子的几何结构，这一特征在Grassberger-Procaccia算法中并不存在。
• 基于RPs的关联维数估计量 $ \hat{D}_2(\nu) $ 对Rössler吸引子的估计结果为 $ 1.86 \pm 0.04 $，与Grassberger-Procaccia算法的结果（$ 1.81 $ 至 $ 1.89 $）一致。
• 基于RPs的互信息估计量系统性地比Grassberger-Procaccia估计值高出约0.2，但曲线整体形态相似；当两种方法均使用最大范数时，该差异消失。
• 所提出的基于RPs的关联熵、关联维数和互信息估计量在范数选择下具有不变性，而Grassberger-Procaccia方法则对范数选择敏感。