[论文解读] Analytical expressions for the deprojected Sérsic model - II. General expressions in terms of the Fox H function

M. Baes, E. Van Hese|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Astrophysics and Star Formation Studies参考文献 1被引用 16

一句话总结

本文利用Fox H函数，推导出去投影Sérsic模型的亮度密度、累积亮度和引力势的紧凑解析表达式，适用于所有实数Sérsic指数m。该研究扩展了先前工作，提供了通用的级数展开式和渐近行为分析，展示了尽管Fox H函数在标准参考文献中相对冷门，但它在解析天体物理学中的强大潜力。

ABSTRACT

The Sérsic model is the de facto standard to describe the surface brightness distribution of hot stellar systems. An important inconvenience of this analytical model is that the corresponding luminosity density and associated properties cannot be expressed using elementary functions or even standard special functions. We present a set of compact and elegant analytical expressions for the luminosity density, cumulative luminosity and potential for the Sérsic model in terms of the Fox H function for general values of the Sérsic index. Furthermore, we present explicit series expansions of these quantities and discuss the asymptotic behaviour. Our analysis completes the work of Mazure & Capelato (2002) and Baes & Gentile (2011) and demonstrates the power of the underestimated Fox H function as a tool for analytical work.

研究动机与目标

• 将Sérsic模型的解析解扩展至所有实数m值，而不仅限于整数或有理数m。
• 利用Fox H函数，为三维亮度密度、累积亮度和引力势提供紧凑且精确的表达式。
• 尽管Fox H函数在标准特殊函数参考文献中出现频率较低，但仍证明其在理论天体物理学中的实用性。
• 通过显式的幂级数和对数-幂级数展开，实现数值计算与渐近行为的解析研究。

提出的方法

• 使用Mellin积分变换技术，将去投影积分转化为Mellin-Barnes围道积分。
• 将所得积分表示为Fox H函数形式，该函数是Meijer G函数的推广。
• 利用Fox H函数的性质，推导出亮度密度、累积亮度和引力势的显式级数展开式（幂级数与对数-幂级数）。
• 对级数展开式应用渐近分析，以恢复已知的小半径和大半径行为。
• 通过恢复总亮度和中心势的已知表达式，验证结果的正确性。
• 利用Fox H函数的解析性质，将先前仅针对整数或有理数m的研究结果推广至所有实数m。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有实数Sérsic指数m（而不仅限于整数或有理数）推导出去投影Sérsic模型的解析表达式？
• RQ2 Fox H函数如何用于以紧凑且通用的形式表达亮度密度、累积亮度和引力势？
• RQ3 这些量的显式级数展开式是什么，使其既能用于数值计算，又能用于渐近行为的解析研究？
• RQ4 所推导的表达式与已知的总亮度和中心势结果相比如何？
• RQ5 Fox H函数在简化和推广恒星动力学与星系光度学中解析处理方面起到何种作用？

主要发现

• 亮度密度ν(r)表示为ν(r) = (2m I₀ b^m)/(√π Rₑ) u^(-1) H^{2,0}_{1,2}[(0,1); (0,2m),(1/2,1) | u²]，对所有m > 0成立。
• 累积亮度L(r)和引力势Ψ(r)也以Fox H函数形式表达，从而实现通用的解析处理。
• 为ν(r)、L(r)和Ψ(r)推导出显式的幂级数和对数-幂级数展开式，支持数值计算与渐近分析。
• 在小半径和大半径下的渐近行为被成功恢复，并与以往的特例分析结果一致。
• 中心势被确定为Ψ₀ = 4 G Υ I₀ Rₑ / (b^m) Γ(m+1)，对所有m > 0成立，与已知结果一致。
• 结果表明，Fox H函数是解析天体物理学中强大且尚未被充分使用的工具，能够统一并推广不同m值下的结果。