[论文解读] Analyticity for the (generalized) Navier-Stokes equations with rough initial data

Chunyan Huang, Baoxiang Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 36被引用 12

一句话总结

本文在临界 Besov 空间和调制空间中，建立了广义 Navier-Stokes 方程在粗糙初值下的解的解析性与全局适定性。通过使用加权 Besov 范数和带指数权 $ e^{t^{1/2ackslashalpha}\Lambda} $ 的函数空间中的压缩映射，证明了在 $ \dot{B}^{n/p-1}_{p,q} $、$ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $ 和 $ M^{-1}_{\infty,1} $ 中小初值的局部解析性与全局存在性，将结果推广至分数阶 $ \alpha \in (1/2,1) $。其主要贡献是首次证明了在临界 Besov 空间中 $ \alpha = 1/2 $ 且 $ p < \infty $ 时的解析性。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the (generalized) incompressible Navier-Stokes equations \begin{align} u_t+(-Δ)^αu+u\cdot abla u + abla p=0, \ \ { m div} u=0, \ \ u(0,x)= u_0. onumber \end{align} We show the analyticity of the local solutions of the Navier-Stokes equation ($α=1$) with any initial data in critical Besov spaces $\dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ with $1&lt; p

研究动机与目标

• 在临界函数空间中建立广义 Navier-Stokes 方程在粗糙初值下的局部与全局解的解析性。
• 将经典 Navier-Stokes 方程（$ \alpha = 1 $）已知的解析性结果推广至分数阶情形（$ \alpha = 1/2 $）及 $ \alpha \in (1/2,1) $。
• 解决 $ \alpha = 1/2 $ 时在临界 Besov 空间 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $（$ p \in [1,\infty] $ 一般情形）下的适定性与解析性这一开放问题。
• 证明经典 Navier-Stokes 方程在粗糙初值下于调制空间 $ M^{-1}_{\infty,1} $ 中的解析性。
• 统一处理不同 $ \alpha \in (1/2,1) $、$ p $ 与函数空间设定下的解析性与全局存在性。

提出的方法

• 引入基于指数权 $ e^{t^{1/2\backslashalpha}\Lambda} $ 的加权函数空间框架，以捕捉时间上的 Gevrey 型解析性。
• 采用积分形式 $ u(t) = U_{2\alpha}(t)u_0 + \mathscr{A}_{2\alpha}\mathbb{P}\textrm{div}(u\otimes u) $，其中 $ U_{2\alpha}(t) = e^{-t(-\Delta)^\alpha} $。
• 通过 $ \Delta_j $ 进行二进分解与频率局部化，以估计加权 Besov 空间 $ \widetilde{L}^\gamma(I; e^{t^{1/2\alpha}\Lambda} \dot{B}^{s}_{p,q}) $ 中的解。
• 利用关键估计 $ \|\Delta_j e^{t^{1/2\alpha}\Lambda} U_{2\alpha}(t) f\|_{L^p} \lesssim e^{-c t 2^{2\alpha j}} \|\Delta_j f\|_{L^p} $ 控制半群衰减。
• 应用 Young 不等式与时间上的插值，导出估计 $ \|\mathscr{A}_{2\alpha} f\|_{\widetilde{L}^\gamma(I; e^{t^{1/2\alpha}\Lambda} \dot{B}^{s}_{p,q})} \lesssim \|f\|_{\widetilde{L}^{\gamma_1}(I; e^{t^{1/2\alpha}\Lambda} \dot{B}^{s-2\alpha(1+1/\gamma-1/\gamma_1)}_{p,q})} $。
• 在具有指数权的完备函数空间中应用压缩映射，证明局部存在性与解析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $ \alpha = 1/2 $ 且初值属于 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $（$ 1 \leq p < \infty $）时，建立广义 Navier-Stokes 方程解的解析性？
• RQ2 经典 Navier-Stokes 方程（$ \alpha = 1 $）在初值属于 $ M^{-1}_{\infty,1} $（大于 $ \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty} $ 的空间）时是否具有解析适定性？
• RQ3 对于 $ \alpha \in (1/2,1) $，小初值属于 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $ 时，解是否保持解析性与全局适定性？
• RQ4 解析性框架能否扩展至经典 Navier-Stokes 方程中调制空间的 $ p = \infty $ 情形？
• RQ5 在广义 Navier-Stokes 设置下，解析性与全局存在性的最优临界空间是什么？

主要发现

• 对于 $ \alpha = 1 $，任何初值属于 $ \dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n) $（$ 1 < p < \infty $，$ 1 \leq q \leq \infty $）时，Navier-Stokes 方程的局部解在时间上是解析的。
• 对于 $ \alpha = 1 $，小初值属于 $ \dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 时存在全局解，将先前结果推广至所有 $ p < \infty $。
• 对于 $ \alpha = 1 $，已证明初值属于 $ M^{-1}_{\infty,1}(\mathbb{R}^n) $ 时的解析性，该空间大于此前已知的解析性适用空间。
• 对于 $ \alpha = 1/2 $，在 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) $（$ 1 \leq p \leq \infty $）中对小初值建立了全局适定性，解决了该开放问题。
• 对于 $ \alpha \in (1/2,1) $，在 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) $ 和 $ \dot{B}^0_{\infty,1} \cap M^0_{\infty,1} $ 中对小初值证明了解的解析性与全局存在性。
• 本文首次证明了分数阶 Navier-Stokes 方程在 $ \alpha = 1/2 $ 时于临界 Besov 空间 $ \dot{B}^{n/p}_{p,1} $（$ 1 \leq p < \infty $）中的解析性。